利玛窦与非欧几何在中国的传播
摘要：明朝末年，利玛窦来中国通过翻译《几何原本》传入了欧氏几何，同时，其也通过各种活动传入了当时流行于欧洲的非欧氏几何。
这些几何知识主要有圆锥曲线、平行正投影、球极投影、画法几何和透视法等。
这些几何知识的传入，更加丰富了我国当时的数学研究，也更直接有力地促进了我国科学技术的发展。
关键词：利玛窦；非欧氏几何；圆锥曲线；球极投影；画法几何 众所周知，明朝末年意大利传教士利玛窦（Matteo Ricci, 1552－1610）来到中国，通过和著名学者徐光启共同翻译《几何原本》，给我国带来了流行于欧洲近两千年的欧氏几何，改善了我国数学研究的状况，推动了我国数学的发展。
其实，利玛窦在中国传教近三十年，通过各种科技活动，也传入了大量的《几何原本》之外的几何——现在一般泛称之为非欧氏几何。
这些几何知识的传入，在当时不仅极大地丰富了我国几何研究的内容，而且也有力地促进了我国关于天文学、地理学和绘画艺术等的研究，直接推动了我国科学技术的发展。
可是，这一问题至今没有多少人注意到，还没有人对其进行过深入的研究。
由此本文拟就这个问题做一探讨。
一、 圆锥曲线的传入 圆锥曲线是古希腊数学家和天文学家的一项重要发现。
其自从被发现以来饱受人们的赞誉，在中世纪之前其就被广泛地应用到很多领域。
因而，当时的欧洲学者几乎都了解这种曲线，都熟悉一些它们的性质。
据载，利玛窦于1583年来到中国大陆，不久即获准在广东传教。
可是，起初国人并不认可这个长相古怪的“家伙”以及他宣扬的“异端学说”。
于是，利玛窦开始转变策略，曲线传教，给国人展示一些西方的新奇物品，以期达到吸引国人的目的。
1584年4月，在利玛窦给国人展示了一幅其从意大利带来的世界地图。
这幅地图非常精美，顿时吸引了不少人来观看，特别是一些高级知识分子，如当时肇庆的知俯王泮等。
利玛窦不敢不受命，于是立即动工，于同年11月份就取得成功，这就是有名的“山海舆地图”。
〔1〕这幅地图后来流传很广，由此利玛窦的声名也大了起来。
1601年利玛窦面圣来到北京，不久就结识了当时著名的官员李之藻。
他二十岁的时候曾自己搜集资料，亲自绘制过一幅全国地图。
〔2〕李之藻看过了利玛窦的世界地图之后，对于其绘制的精美和精确感到异常惊讶，于是开始跟利玛窦学习西方科技知识。
1602年，李之藻首先学会了绘制世界地图，遂即将利玛窦绘制的“山海舆地图”放大，然后进行了重新印刷，这就是著名的“坤舆万国全图”。
这幅地图目前还能看到，也有很多人对此进行了深入的研究。
经过研究，发现其最初的底本来自罗马，采用的是当时欧洲比较流行的投影画法——椭圆投影（oval projection）〔3〕。
椭圆投影有什么特点呢？我们研究发现，其最大的特点就是将整个地球表面的投影图绘制成了一个标准的椭圆。
〔4〕同时，我们对“坤舆万国全图”进行研究，也发现其周边的确是一个标准的椭圆形。
椭圆在中国古代没人研究，更没有人应用。
所以，这里的使用是最早的一例，它完全得益于利玛窦的工作。
1596年11月，利玛窦在南昌的时候，收到了他在罗马学院时期的老师克拉维乌斯（C.Clavius, 1538－1612）神父于1593年出版的新书《论星盘》（Astrolabium）。
此后，为了吸引国人，其常拿这本书来讲解西方知识。
〔5〕特别是当遇到一些比较聪明的中国学者的时候。
李之藻人称“江南才子”，徐光启说他“卓荦通人”，所以，当他遇到利玛窦的时候，也从利玛窦那里受到了这方面的恩惠。
不仅如此，很有可能李之藻还通读了全书，因为于1605年左右，李之藻写了一本叫《浑盖通宪图说》的书，就是对上述书的节译。
节译内容还不在该书前面，全是后面的内容。
而《论星盘》是一本什么样的书呢？其主旨虽然是介绍星盘制作的，但是在阐述的时候，却运用了大量的数学知识。
其最后的星盘的具体做法，都是在圆锥曲线知识的基础上一步步严格推理出来的。
〔6〕由此，其包含了大量的圆锥曲线的内容。
利玛窦既然给李之藻讲授了此书，所以，其也肯定传授给李之藻了圆锥曲线的知识。
还有，在1608年李之藻又写成了《圆容较义》一书。
此书的序言中讲：“昔从利公研穷天体，因论圆容，拈出一义，次为五界十八题。
”〔7〕可见此书直接来源于利玛窦。
此书分为十八个命题，分别讲述了多边形的面积问题、锥体的体积问题、圆内接多边形和外切多边形问题、球内切多面体问题等等。
这些都是当时徐光启翻译的《几何原本》中没有的内容。
此书的第十八题证明了“凡浑圆形与圆外角形等周者，浑圆形必大于圆角形。
”即 “表面积一定的球和旋转体相比，前者体积大”。
为了更好的证明这个命题，李之藻给出了一个图形，如图一所示。
由此看见，其使用了椭圆。
〔7〕另外，在此书中，其还多次提到阿基米德（Archimedes, BC287－BC212）的《圜书》，借用了其中的命题结论。
而阿基米德的《圜书》是一本讨论圆的面积和体积的书，里面也包含了椭圆面积的求法。
由此我们也可以看出，李之藻学习过了椭圆知识。
二、 利玛窦传入了平行正投影 上面提到，1602年李之藻放大翻刻了利玛窦的世界地图。
此地图和原来的相比，一是面积大了，二是增加了若干小的图形。
〔8〕在这些小的图形中，有一幅如图二所示，在大图的左下角。
另外其还就此附了一段文字：“右图乃黃赤二道错行中气之界限也。
凡算太阳出入皆准此。
其法以中橫线为地平，直线天顶，中圈为地体，外大圈为周天。
以周天分三百六十度。
假如是图在京师地方，北极出地平线上四十度，则赤道离天顶南亦四十度矣。
然后自赤道数起，南北各以二十三度半为界，最南为冬至，最北为夏至。
凡太阳所行不出此界之外，既定冬、夏至界，即可求十二宮之中气。
先从冬夏二至界相望画一线，次于线中十字处为心，尽边各作一小圈，名黃道圈。
圈上勻分二十四分，两两相对作虚线，各识于周天圈上。
在赤道上者，即春秋分；次北曰谷雨、处暑，曰小满、大暑，曰夏至；次南曰霜降、雨水，曰小雪、大寒，曰冬至。
因图小，止载中气，其余节气仿此。
就中再勻分一倍， 即得之矣。
而其日影之射于地者，則取周天所识，上下相对，透地心斜画之。
太阳所离赤道纬度，所以随节气分远近者，此可略见。
凡作日晷带节气者， 皆以此为提纲，欧罗巴人名为‘曷捺楞马’云。
”〔9〕 何为“曷捺楞马”？目前经多人多方面的研究已证实，其实际是拉丁词Analemma的音译。
那么什么是Analemma呢？也有人考证，这实际上是古希腊人创造的一种专门用来研究宇宙的平行正投影〔10〕。
此方法将投影点设在无穷远点，让光线平行穿过天球，假想在天球中间有一个平面垂直于光线，这样可画出天球的模样。
他在这个过程中说明了球面上平行于透射光线的圆（如地平圈）被透射成直线段，说明了和透射光线垂直的圆（如过南北极的经线圈）被透射成圆等性质。
同时，也给出了它们的正确画法。
如在肇庆他曾指导瞿太素制造日晷，在南京曾辅导张养默制造日晷等。
日晷作为一种古老的利用太阳来计时的仪器，东西方都有，但各有所长。
而西方的多是地平日晷，其以西方古代天文学基本构架为基础，使用的方法正是曷捺楞马法。
而利玛窦当时带来的和在中国制作的日晷不同于中国式的，通过其描述我们考证也正是地平日晷〔1〕。
关于平行正投影在我国古代曾经有人研究过，如北宋时期的著名画家建筑学家李诫（？－1110）。
在他的《营造法式》（1103）中我们可以看到有不少图形的绘制采用的是正投影的方法。
再如明代出现的《鲁班经》（万历年间），其中也有很多正投影图〔11〕。
但是，中国古代的平行正投影似乎都没有研究过球面。
就是曾经研究过的立方体（如房屋、石头等）也没有具体的确定的绘制方法——没有使用精确的几何绘制。
所以，利玛窦在这里的介绍在当时还是先进的，是对我国平行正投影研究的补充和推进。
三、 利玛窦传入了球极投影和画法几何 利玛窦在给国人展示西方物品的时候，其实不只是展示了地图和日晷，而且还展示过一些相对较为复杂的天文仪器，如星盘等。
这一方面是星盘有很多的内容，非常新颖，另外也是有克拉维乌斯的《论星盘》作后盾，其可介绍的内容多而且系统。
而星盘，作为一种先是在古希腊时期被当时的数学家和天文学家发明，后又在欧洲非常流行的天文仪器，在制作的时候常常需要很多数学知识，因此，星盘在欧洲有“数学之宝”的美称。
〔12〕在星盘制作需要的数学知识中，除了欧氏几何和圆锥曲线知识以外，还需要球极投影的知识，球极投影是制作星盘的关键。
〔13〕 据载，利玛窦在广东曾教授过瞿太素制作星盘，在南京曾教授过张养默制作星盘。
到了北京其又和李之藻等人讨论了星盘的制作，并使李之藻也学会了制作星盘。
利玛窦曾说：“李良（李之藻）对数学的其它部门也感兴趣，他全力以赴协助制作各种数学器具。
他掌握了丁先生（克拉维乌斯）所写的几何学教科书的大部分内容，学会了使用星盘，并为自己制作了一具，它运转得极其精确。
接着，他对两门科学写出了一份正确而且清晰的阐述。
他的数学图形可以和任何欧洲所绘的相匹敌。
他论星盘的著作分两卷出版。
利玛窦神父把一份送给了罗马的耶稣会会长神父，作为中国人完成的第一部这类著作的一个样本，另一份送给了丁先生，因为他本人曾一度从丁先生受教。
”〔1〕 这里提到的“论著星盘的书”即是《浑盖通宪图说》。
在这本书的序言中，李之藻也说：“昔从京师识利先生，欧逻巴人也。
示我平仪，其制约浑，为之刻画重固，上天下地，周罗星程，背结规筒貌则盖天，而其度仍从浑出。
取中央为北权，合《素问》中北外南之观；列三规为岁候，邃义和侯星寅日之旨，得未曾有，耳受手书，颇亦镜其大凡。
旋奉使闽之命，往返万里，测验无爽，不揣为之图说，间亦出其鄙谢，会通一二，以革中历。
”〔14〕由此可见，利玛窦给李之藻讲解了球极投影，并教会了他星盘的制作和使用方法。
下面我们再具体看《浑盖通宪图说》的内容。
此书上下两卷共二十一部分。
在第一部分卷首中，他说：“浑仪如塑像，而通宪平仪如绘像，兼俯印转侧而肖之者也。
塑则浑圆，绘则平圆，全圆则浑天，割圆则盖天。
”在地平受子午规之图中说：“浑天极圆，今割去黄道短规以南一小弧为平仪所不用者，此内大弧自午中冬至度，逾北极际迄夜半冬至度，共径二百二十七度，平仪截用为盖天形，而置北极于中央云。
”在总图说第一中说：“浑盖旧论纷纭，推步匪异。
爰有通宪，范铜为质。
平测浑天，截出下规，遥远之星所用。
固仅依盖是为浑度。
盖模通而为一面，为俯视图象。
”提到子午线时又说：“其过顶一曲线结于赤道卯酉之交者则为正东西界，其余方向皆有曲线定之，近北窄而近南宽，盖若置身天外斜望者。
”在地盘长短平规图说第四中又说：“故有昼短规，有昼夜平规，有昼长规，而短规最大，平规次之，长规最小。
盖平仪系极中央，中央之极，实该南北二极。
试设八尺浑仪于此，人目自南极之外以望北极，昼短之规最近，定觉最大，昼夜平规次近，则觉次大，昼长之规最远，则亦觉其最小，平仪立法于此。
而中国在赤道以北，故置昼长规于赤道内，昼短规于赤道外。
凡昼短规以内，其星稠。
而在望近短规以外，其星有不可望者矣，夫是以略也。