离散数学中关系性质的判定方法

[ 下载 ]

关系的概念是离散数学中关系的基础，又是集合概念的应用，因此应该真正理解并熟练掌握二元关系的概念及关系矩阵、关系图表示。而关系的性质既是对关系概念的加深理解与掌握，又是关系的闭包、等价关系、半序关系的基础。对于四种性质（自反性、对称性、反对称性、传递性），有如下方法加以判定：　　一、依据其定义　　1.自反性：　　设R是集合A上的二元关系，如果对于每一个aA，若有（a，a）R，即aRa，则称R在集合A上具有自反性。　　2.对称性：　　设R是集合A上的二元关系，对于任意的a、bA，若有（a，b）R，就有（b，a）R，则称R在集合A上具有对称性。　　3.反对称性：本文由收集整理　　设R是集合A上的二元关系，对于任意的a、bA，若（a，b）R且（b，a）R时，必有a=b，则称R在集合A上具有反对称性。　　4.传递性：　　设R是集合A上的二元关系，对于任意的a、b、cR，若（a，b）R，且（b，c）R，就有（a，c）R，则称关系R在A上具有传递性。　　二、依据关系矩阵和关系图的关系　　1.关系R具有自反性，当且仅当在关系矩阵中，主对角线上元素全为1；或者在关系图中每个结点上都有一条自回路。论文网　　2.若关系R具有对称性，当且仅当关系矩阵是对称矩阵；或者在关系图中，若两个结点间存在有向弧，必是成对的。　　3.若关系R具有反对称性，当且仅当关系矩阵中以主对角线为对称轴的对称元素不能同时为1（可以同时为0），而主对角线上的元素是1或者是0；在关系图上，若两个结点间存在有向弧，不可能成对出现，结点可以有自回路。　　4.若关系R具有传递性，关系矩阵没有明显特征。关系图的特点是：任意两个结点a、b间若能通过一条以上的弧间接连结起来，则必有一条直接从a到b的弧。作为它的一种特殊情况，若两点间各有一条直接从a到b和由b到a的弧连接时，则在这两个结点a、b上必然各有一条自回路。　　对于传递性的判定，难度稍大一些，要注意两点：一是不破坏传递性定义，可认为具有传递性。如空关系具有传递性，同时空关系具有对称性和反对称性，但是不具有自反性。二是介绍一种判定传递性的跟踪法，即若（a1，a2）R，（a2，a3）R，L（ai—1，ai）R，则（a1，ai）R；如若（a，b）R，（b，a）R，则有（a，a）R，且（b，b）R。　　例1、设集合A={a，b，c，d}，判定下列关系哪些是自反的、对称的、反对称的和传递的：R1={（a，a），（b，a）}，R2={（a，a），（b，c），（d，a）}，R3={（c，d）}，R4={（a，a），（b，b），（c，c）}，R5={（a，c），（b，d）}。论文网　　解：依据关系性质的定义，可判定：均不是自反的；R4是对称的；R1、R2、R3、R5是反对称的；R1、R2、R3、R4、R5是传递的。　　例2、设集合A={1，2，3}上的关系R1={（1，1），（2，2），（3，3）}，R2={（1，1），（2，2），（2，3），（3，2），（3，3）}，R3={（1，2），（2，3），（3，1）}，R4=，说明每种关系所具有的性质。　　解：先做出关系矩阵，再依据其规律加以判断。　　1 0 0 1 0 0　　MR1= 0 1 0 MR2= 0 1 1　　0 0 1 0 1 1　　0 1 0 0 0 0　　MR3= 0 0 1 MR4= 0 0 0　　1 0 0 0 0 0　　由判定方法二知， R1具有自反性、对称性、反对称性与传递性；R2具有对称性与传递性；R3具有反对称性；R4具有对称性、反对称性与传递性。论文代写。

3 次访问