高考数学必背知识点 [文科高考数学必背知识点]
一、高中数学诱导公式全集:
常用的诱导公式有以下几组:
公式一:
设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等:
sin(2kπ+α)=sinα (k∈Z)。
cos(2kπ+α)=cosα (k∈Z)。
tan(2kπ+α)=tanα (k∈Z)。
cot(2kπ+α)=cotα (k∈Z)。
公式二:
设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系:
sin(π+α)=—sinα。
cos(π+α)=—cosα。
tan(π+α)=tanα。
cot(π+α)=cotα。
公式三:
sin(—α)=—sinα。
cos(—α)=cosα。
tan(—α)=—tanα。
cot(—α)=—cotα。
公式四:
利用公式二和公式三可以得到π—α与α的三角函数值之间的关系:
sin(π—α)=sinα。
cos(π—α)=—cosα。
tan(π—α)=—tanα。
cot(π—α)=—cotα。
公式五:
利用公式一和公式三可以得到2π—α与α的三角函数值之间的关系:
sin(2π—α)=—sinα。
cos(2π—α)=cosα。
tan(2π—α)=—tanα。
cot(2π—α)=—cotα。
公式六:
sin(π/2+α)=cosα。
cos(π/2+α)=—sinα。
tan(π/2+α)=—cotα。
cot(π/2+α)=—tanα。
sin(π/2—α)=cosα。
cos(π/2—α)=sinα。
tan(π/2—α)=cotα。
cot(π/2—α)=tanα。
sin(3π/2+α)=—cosα。
cos(3π/2+α)=sinα。
tan(3π/2+α)=—cotα。
cot(3π/2+α)=—tanα。
sin(3π/2—α)=—cosα。
cos(3π/2—α)=—sinα。
tan(3π/2—α)=cotα。
cot(3π/2—α)=tanα。
(以上k∈Z)。
注意:在做题时,将a看成锐角来做会比较好做。
诱导公式记忆口诀。
※规律总结※。
上面这些诱导公式可以概括为:
对于π/2*k ±α(k∈Z)的三角函数值,
②当k是奇数时,得到α相应的余函数值,即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan.
(奇变偶不变)。
例如:
sin(2π—α)=sin(4·π/2—α),k=4为偶数,所以取sinα。
当α是锐角时,2π—α∈(270°,360°),sin(2π—α)0,符号为“—”。
所以sin(2π—α)=—sinα。
上述的记忆口诀是:
公式右边的符号为把α视为锐角时,角k·360°+α(k∈Z),—α、180°±α,360°—α。
各种三角函数在四个象限的符号如何判断,也可以记住口诀“一全正;二正弦(余割);三两切;四余弦(正割)”.
这十二字口诀的意思就是说:
正弦 ...........+............+............—............—........
余弦 ...........+............—............—............+........
正切 ...........+............—............+............—........
余切 ...........+............—............+............—........
倒数关系:。
tanα ·cotα=1。
sinα ·cscα=1。
cosα ·secα=1。
商的关系:
sinα/cosα=tanα=secα/cscα。
cosα/sinα=cotα=cscα/secα。
平方关系:
sin^2(α)+cos^2(α)=1。
1+tan^2(α)=sec^2(α)。
1+cot^2(α)=csc^2(α)。
六角形记忆法:(参看图片或参考资料链接)。
构造以"上弦、中切、下割;左正、右余、中间1"的正六边形为模型。
(2)商数关系:六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。
(主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积)。由此,可得商数关系式。
(3)平方关系:在带有阴影线的三角形中,上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。
两角和差公式。
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ。
sin(α—β)=sinαcosβ—cosαsinbeta,考试技巧;。
cos(α+β)=cosαcosβ—sinαsinβ。
cos(α—β)=cosαcosβ+sinαsinβ。
tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1—tanαtanβ)。
tan(α—β)=(tanα—tanβ)/(1+tanα·tanβ)。
二倍角公式。
sin2α=2sinαcosα。
cos2α=cos^2(α)—sin^2(α)=2cos^2(α)—1=1—2sin^2(α)。
tan2α=2tanα/[1—tan^2(α)]。
半角公式。
sin^2(α/2)=(1—cosα)/2。
cos^2(α/2)=(1+cosα)/2。
tan^2(α/2)=(1—cosα)/(1+cosα)。
另也有tan(α/2)=(1—cosα)/sinα=sinα/(1+cosα)。
万能公式。
sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]。
cosα=[1—tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]。
tanα=2tan(α/2)/[1—tan^2(α/2)]。
附推导:
sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/(cos^2(α)+sin^2(α))......*,
(因为cos^2(α)+sin^2(α)=1)。
再把*分式上下同除cos^2(α),可得sin2α=2tanα/(1+tan^2(α))。
然后用α/2代替α即可。
同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。
sin3α=3sinα—4sin^3(α)。
cos3α=4cos^3(α)—3cosα。
tan3α=[3tanα—tan^3(α)]/[1—3tan^2(α)]。
附推导:
tan3α=sin3α/cos3α。
=(sin2αcosα+cos2αsinα)/(cos2αcosα—sin2αsinα)。
=(2sinαcos^2(α)+cos^2(α)sinα—sin^3(α))/(cos^3(α)—cosαsin^2(α)—2sin^2(α)cosα)。
上下同除以cos^3(α),得:
tan3α=(3tanα—tan^3(α))/(1—3tan^2(α))。
sin3α=sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinα。
=2sinαcos^2(α)+(1—2sin^2(α))sinα。
=2sinα—2sin^3(α)+sinα—2sin^3(α)。
=3sinα—4sin^3(α)。
cos3α=cos(2α+α)=cos2αcosα—sin2αsinα。
=(2cos^2(α)—1)cosα—2cosαsin^2(α)。
=2cos^3(α)—cosα+(2cosα—2cos^3(α))。
=4cos^3(α)—3cosα。
即。
sin3α=3sinα—4sin^3(α)。
cos3α=4cos^3(α)—3cosα。
★记忆方法:谐音、联想。
正弦三倍角:3元 减 4元3角(欠债了(被减成负数),所以要“挣钱”(音似“正弦”))。
☆☆注意函数名,即正弦的三倍角都用正弦表示,余弦的三倍角都用余弦表示。
★另外的记忆方法:。
正弦三倍角: 山无司令 (谐音为 三无四立) 三指的是"3倍"sinα, 无指的是减号, 四指的是"4倍", 立指的是sinα立方。
sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α—β)/2]。
sinα—sinβ=2cos[(α+β)/2]·sin[(α—β)/2]。
cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(α—β)/2]。
cosα—cosβ=—2sin[(α+β)/2]·sin[(α—β)/2]。
积化和差公式。
sinα ·cosβ=0.5[sin(α+β)+sin(α—β)]。
cosα ·sinβ=0.5[sin(α+β)—sin(α—β)]。
cosα ·cosβ=0.5[cos(α+β)+cos(α—β)]。
sinα ·sinβ=—0.5[cos(α+β)—cos(α—β)]。
附推导:
首先,我们知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a—b)=sina*cosb—cosa*sinb。
我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a—b)=2sina*cosb。
所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a—b))/2。
同理,若把两式相减,就得到cosa*sinb=(sin(a+b)—sin(a—b))/2。
同样的,我们还知道cos(a+b)=cosa*cosb—sina*sinb,cos(a—b)=cosa*cosb+sina*sinb。
所以,把两式相加,我们就可以得到cos(a+b)+cos(a—b)=2cosa*cosb。
所以我们就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a—b))/2。
同理,两式相减我们就得到sina*sinb=—(cos(a+b)—cos(a—b))/2。
sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a—b))/2。
cosa*sinb=(sin(a+b)—sin(a—b))/2。
cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a—b))/2。
sina*sinb=—(cos(a+b)—cos(a—b))/2。
好,有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差化积的四个公式.
我们把上述四个公式中的a+b设为x,a—b设为y,那么a=(x+y)/2,b=(x—y)/2。
sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x—y)/2)。
sinx—siny=2cos((x+y)/2)*sin((x—y)/2)。
cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x—y)/2)。
cosx—cosy=—2sin((x+y)/2)*sin((x—y)/2)。