函数概念的“源”与“流

函数概念的源与流1.1函数概念的源马克思曾经认为，函数概念来源于代数学中的不定方程的研究，由于罗马时代丢番图对不定方程已有相当的研究，所以函数概念至少在那时已经萌芽。自哥白尼的天文学革命以后，运动就成了文艺复兴时期科学家共同感兴趣的问题，人们在思索：既然地球不是宇宙的中心，它本身又有自转和公转，那么下降物体为什么不发生偏斜而还要垂直下落到地球上？行星运行的轨道是椭圆，原理是什么？还有，研究在地球表面上抛射物体和路线、射程的影响问题，既是科学家力图解决的问题，也是军事家要求解决的问题。函数概念就是从这些运动研究中引申出来的一个数学概念。在伽利略的力学著作《两门新科学》中用文字语言叙述了一些函数关系。如：从静止开始以定常加速度下降的物体，其经过的距离与所用时间的平方成正比。沿着同高度但不同坡度的倾斜平板下滑的物体，其下滑时间与平板的长度成正比。[5]等等这些叙述只需引进适当的数学符号就可表示为简洁、明确的数学关系，这些文字语言是早期函数概念的雏形。 总结大全 /html/zongjie/ 17世纪上半叶，笛卡尔把变量引入数学，他指出了平面上的点与其数对 之间的对应关系。当动点作曲线运动时，它的 坐标和 坐标相互依赖并同时发生变化，其关系可由包含 的方程式给出。相应的方程式就揭示了变量 和y之间的关系，但由于当时尚未意识到需要提炼一般函数概念，因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分的时候，数学家还没有明确函数的一般意义。从现存文献中可知，最早提出函数概念的，是17世纪德国数学家莱布尼兹。于1673年他用函数一词表示幂，如 都叫函数。随后在他的一部手稿里，他又用函数一词来表示任何一个随着曲线上的点变动而变动的量例如：切线、法线、次切线等的长度以及纵坐标等。[6] 莱布尼兹的函数概念使用范围狭窄，后续的数学家在此基础上做了许多扩展工作。1698年，莱布尼兹的学生，瑞士数学家约翰、伯努力提出新的函数概念：由变量x和常数所构成的式子叫做x的函数。[7]1718年他又进一步规范了这一定义：一个变量的函数指由这个变量和常数任意一种方式构成的一个量。[8]伯努力所强调的是函数要用公式表示。后来数学家觉得不应该把函数概念局限在只能用公式表达上，只要一些变量变化就可以，至于这两个变量的关系是否要用公式表示就不作为判别函数的标准。 开题报告 /html/lunwenzhidao/kaitibaogao/ 1734年，瑞士另一数学家欧拉，首次使用了符号 表示变量数，他的例子是 ，后人据此发明了 表示变量x的函数值。[9]1755年，欧拉在其论著中把函数定义为：如果某些变量以某种方式依赖于另一些变量，即当后者变化时，前者本身也发生变化，则称前一些变量是后一些量的函数。在此定义中，就不强调要用公式表示了，由于函数不一定要用公式表示，欧拉曾把画在坐标系里的曲线叫函数，他认为：函数是随意画出的一条曲线。 1797，法国数学家拉格朗日，从分析学的角度对函数概念做了扩展：所谓一个或几个变量的函数是任意一个适合于计算的表达式，这些量以任意方式出现于表达式中。无独有偶，1822年法国另一个数学家傅里叶，在他的名著《热的解析理论》中定义为：通常函数表示相接的一组值或纵坐标，它们中的毎一个都是任意的我们不假定这些纵坐标服从一个共同的规律；他们以任何方式一个挨一个。在该书里，他用一个三角级数和的形式表达了一个由不连续的线所给出的函数。[10]证明在解析式和曲线之间并不存在不可逾越的鸿沟，级数把解析式和曲线沟通了。19世纪是数学大发展的时代，除了创立大批新的数学分支和分析基础严密是其显著特色。数学家他们在考虑巩固数学基础的同时，对函数概念发散状况也做了种种规范，主要是突出了变量与对应关系。 1823年，法国另一数学家柯西给出了类似现在中学课本的函数定义：在某些变量间存在一定的关系，当一经给定其中某一变量的值，其它变量的值可随着而确定时，则将最初的变量叫自变量，其它各变量叫做函数，在柯西的定义中，首次出现了自变量一词。1834俄国数学家罗巴切夫斯基进一步提出函数的定义：x的函数是这样一个数，它对于毎一个x都有确定的值。并且随着x一起变化，函数值可以由解析式给出，也可以由一个条件给出，这个条件提供了一种寻求全部对应值的方法，函数的这种依赖关系可以存在，但仍然是未知的。这个定义指出了对应关系，可以求出毎一个x的对应值。1837年德国数学家狄里克雷认为怎样去建立x与y之间的对应关系无关紧要，所以他的定义是：如果对于x的任何一个值，总有一个完全确定的y值与之对应，则y是x的函数。这个定义抓住了概念的本质属性，变量y称为x的函数，只需一个法则存在，使得这个函数取值范围中的任何一个值，有一个确定的y值和它对应就行了，不管这个法则是公式或图像或表格或其它形式。这个定义比前面的定义更具有普遍性，为理论研究和实际应用提供了方便，因此这个定义曾被长期使用。19世纪中叶以后，数学家从函数的适用范围对这一概念做了不同程度的扩展。例如德国的黎曼1851将变量推广到复数；英国的布尔和德国的佛雷格又将变量扩展到逻辑符号；德国的戴德金则直接使用元素和映射表示变量，使函数概念由具体描述上升到抽象概括。 作文 /zuowen/。

1.2函数概念的流随着近代数学的发展，人们对函数的认识越来越深刻。到了19世纪70年代，德国数学家康托集合论的产生后，建立了函数的结合对应定义，也就是用集合与对应来叙述：给定两个集合A和B，如果按照某种确定的对应关系，对A的每一个元素，在B中都有唯一的元素与之对应，则这种对应关系称为从A集合到集合B的函数。类似于现在高中数学课本中的函数定义。 20世纪初，生产实践和科学实验的进一步发展，又引起函数概念新的尖锐的矛盾。20世纪20年代，人类开始研究微观物理现象，1930年量子力学面世，在量子力学中需要用到一种新的函数 —函数，即 。[17]—函数的出现，引起了人们激烈争论，按照函数原理定义，只允许数与数之间建立对应关系，而没有把 作为数，另外对于自变量只有一个点不为零的函数，其积分值却不等于零的函数，这也是不可想象的。然而， —函数确实是实际模型的抽象。例如，当汽车、火车通过桥梁时，自然对桥梁产生压力，从理论上讲，车辆的轮子和桥面的接触点只有一个，设车辆对轨道、桥面的压力为一单位，这时在接触点 处压强是 ，其余点 处，因为无压力，故无压强，即 ，另外，我们知道压强函数的积分等于压力，即 。