【用能量的观点解决一类支架的节点位移】材料力学节点位移
在工程力学中我们会经常遇到图1所示类型的支架，若AB杆和AC杆均为钢杆，弹性模量E=200GPa，杆AB长L1=2m，其横截面积A1=200mm2，杆AC横截面积A2=250mm2，F=10kN，计算节点A的位移AA"。
一、常规方法解决节点A的位移AA" 1.计算各杆的轴力 取节点A为研究对象。
设AB杆和AC杆的轴力分别为FN1和FN2，见图2，有：∑Fy=0，FN1sin30o—F=0，得：FN1==20kN；∑Fy=0，得：FN2—FN1cos30o=—1.73kN。
2.分别求两杆的变形 见图3，由虎克定律得: 3.确定节点的位移 以图3中为圆心，L1+ΔL1为径，又以C为圆心，L+ΔL2为半径分别作圆弧交于A"点，A" 即为节点A的新位置，AA"即为A点的位移。
可以认为A"A1┴ AA1，A"A2┴ AA2 ，过A点作铅垂线AA3，过A"作水平线A"A3，两直线在此相交于A3点。
节点A的水平位移A"A3和垂直位移AA3分别为： A"A3=AA2=ΔL2=0.600mm 节点A的位移为：mm 二、“四点共圆”法解决节点的位移 在周君毅《工程力学》13章4节中提出了用“四点共圆”法解决节点A的位移AA"。
在图3中，用余弦定理可得：因为A、A1、A"、A2四点共圆，所求总位移AA"即为圆的直径； 在ΔA1A2A"中，由正弦定理有：=2R=AA"，故有： mm 三、用能量观点解决节点的位移 1.常规方法和“四点共圆”法的局限性 常规方法和“四点共圆”法解决此问题都需要经过复杂的运算和作出复杂的图形，因此给设计带来了不便，降低了效率。
若此问题用能量的观点来解决，不但不需要经过复杂的运算，而且还可以避免作出复杂的图形，并且不需用垂直线代替圆弧，其计算精度也大大提高。
2.用能量的观点解决此问题的理论依据 （1）固体在外力作用下会变形，引起力作用点沿力作用方向位移，外力因此而做功。
另一方面，弹性固体因变形具备了作功的能力，表明储存了变形能。
若外力从零开始慢慢地增加到最终值，变形中的每一瞬间固体都处于平衡状态，动能和其他能量的变化皆可不计。
则由功能原理可知，固体的变形能U在数值上等于外力所做的功W，亦即U=W。
弹性固体的变形能是可逆的，即当外力逐渐解除时，它又可在恢复变形中，释放出全部变形能而作功。
超过弹性范围，塑性变形将耗散一部分能量，变形能不能全部转变为功。
在线弹性范围内，杆件在轴向拉伸或压缩时的变形能为：U=W=，又由虎克定律，故上式写成：U =W =。
当沿杆件轴线轴力N为变量时，可利用上式先求出长为dx的微段内的变形能为： 积分求出整个杆件的变形能为： (3)克拉贝依隆原理。
线弹性体的变形能等于每一外力与其相应位移乘积的二分之一的总和。
（4）卡氏定理。
设弹性结构在支座的约束下无任何刚性位移，P1,P2,…,Pi,…为作用于结构上的外力，沿诸力作用方向的位移分别为：δ1,δ2,…,δi,…。
设想在上述诸力中只给Pi一个增量ΔPi，其余不变，从而引起诸力作用点沿力作用方向的位移增量为：Δδ1,Δδ2,…,δi,…，在作用ΔPi的过程中，ΔPi完成的功为，则原有诸力完成的功可以表示为：P1Δδ1+P2Δδ2+…+PiΔδi+…，故结构变形能U的相应增量为： 省略高阶微量 ，则： ΔPi =P1Δδ1+P2Δδ2+…+PiΔδi+… （1） 如果把原诸力看作是第一组力，而把ΔPi看作第二组力，根据互等定理有： P1Δδ1+P2Δδ2+…+PiΔδi+… =ΔPiδ （2） 比较（1）（2）两式可见：ΔU=ΔPiδi 或者。
在极限的情况下，ΔPi→0，上式左端是变形能U对Pi的偏导数，即： 可见，若将结构的变形能P1,P2,…,Pi,…表示为载荷P1,P2,…,Pi,…的函数，则变形能对任意载荷Pi的偏导数，等于Pi作用点沿Pi作用方向的位移δi。
在（2）中整个杆件的变形能为： 若写成级数的形式为：，（n为支架中的杆件数）。
应用卡氏定理得节点的总位移为： 3.用能量的观点解决此问题 上述求出了1杆件的轴力，2杆件的轴力 ，且共有两个杆件。
则： 因此，用此种方法计算量大大减小，而且不需要作出复杂的图形，并且此种方法求出的AA"=3.039mm避免了用垂直线代替圆弧，与前两种方法求出的AA"=3.099mm相比其计算结果更加精确，计算精度大大提高，提高了效率。
参考文献： ［1]周君毅.工程力学.北京:化学工业出版社,2004. ［2]刘鸿文.材料力学(第三版).北京:高等教育出版社，1992. （作者单位：江西铜业高级技工学校）。