构造函数在导数解证不等式中的应用

汕头市潮南区胪溪中学 胡小霞。

一、利用导数证明不等式。

1、 直接作差构造函数证明不等式。

分析：本题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数，从其导数入手即可证明。

证明：

当时，，即在上为增函数；。

因此，当时，，即（右边得证），

当时，，即（左边得证）。

本题首先根据题意作差构造函数，通过导数判断新函数的单调性，利用最值，从而达到证明不等式的目的。

题目：已知函数其中nN*,为常数.当时，证明：当n为奇数时,当时，有.

证明：因为a=1,所以 因为n为奇数，时，＜0，

要证, 所以只需证,令,。

,所以当时，单调递增，

又， 所以当时，恒有,。

即命题成立. 综上所述，当n为奇数时,当时，有.

分析：根据不等式中式子的结构特点,形状相似于函数在相应几个点的函数值。

二、利用导数解决不等式恒成立问题。

题目：已知函数的最大值为0，若不等式对任意的都成立（其中e是自然对数的底数）.求的最大值.

由知,所以 ,换元令，

构造函数：

由已知得构造函数，

所以当得在上为减函数.

故函数在上的最小值为，所以的最大值为。

总之，不论是证明不等式还是解不等式恒成立问题，只要我们仔细研究不等式的结构特征，联想到构造函数再结合导数的知识来证明不等式或解决恒成立问题，这类问题的解决就会变得轻车熟路。这种解题方法也是转化与化归思想在中学数学中的重要体现。