2020年高考文科数学新课标必刷试卷五（含解析）

2020年高考必刷卷05 数学（文） （本试卷满分150分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡的相应位置上。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题) 一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，集合,则图中的阴影部分表示的集合是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 图中阴影部分表示的集合为，所以先求出集合A,B后可得结论． 【详解】 由题意得， 所以， 即图中阴影部分表示的集合为． 故选C． 【点睛】 本题考查集合的元素、韦恩图和集合的补集运算，解题的关键是认清图中阴影部分表示的集合以及所给集合中元素的特征，属于基础题． 2．复数满足，则复数等于（） A． B． C．2 D．—2 【答案】B 【解析】 【分析】 通过复数的模以及复数的代数形式混合运算，化简求解即可. 【详解】 复数满足， ∴， 故选B. 【点睛】 本题主要考查复数的基本运算，复数模长的概念，属于基础题． 3．已知命题p：对任意x∈（0，+∞），sinx≤x2，则￢p为（ ） A．∃x0∈（0，+∞），使得sinx0≤x02 B．∃x0∈（0，+∞），使得sinx0＞x02 C．∃x0∈（﹣∞，0），使得sinx0≤x02 D．∃x0∈（﹣∞，0），使得sinx0＞x02 【答案】B 【解析】 【分析】 根据全称命题:的否定为:,可知答案. 【详解】 因为命题p：对任意x∈（0，+∞），sinx≤x2, 所以￢p为: ∃x0∈（0，+∞），使得sinx0＞x02. 故选:B 【点睛】 本题考查了全称量词的否定,解题关键是抓住量词进行改写,属于基础题. 4．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著. 《算法统宗》对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著.在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，以“竹筒容米”就是其中一首：家有九节竹一茎，为因盛米不均平；下头三节三升九，上梢四节贮三升；唯有中间二节竹，要将米数次第盛；若是先生能算法，也教算得到天明！大意是：用一根9节长的竹子盛米，每节竹筒盛米的容积是不均匀的.下端3节可盛米3.9升，上端4节可盛米3升，要按每节依次盛容积相差同一数量的方式盛米，中间两节可盛米多少升？由以上条件，计算出中间两节的容积为（ ） A．升 B．升 C．升 D．升 【答案】A 【解析】 由题意由上到下每节容积依次等差数列，且 ，选A. 5．在区间上随机取一个数，则事件“”发生的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 在区间[−1,1]上随机取一个数x， 即x∈[−1,1]时,要使的值介于0到之间， 需使或 ∴或,区间长度为， 由几何概型知的值介于0到之间的概率为. 本题选择A选项. 点睛：解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围．当考察对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算，即当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长)之比． 6．若函数满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 由函数满足，再分别令，，列方程组求解即可. 【详解】 解：因为函数满足， 令得：，① 令得：，② 联立①②得：， 故选:A. 【点睛】 本题考查了利用赋值法求函数的值，属基础题. 7．某几何体的三视图如图所示，该几何体表面上的点P与点Q在正视图与侧视图上的对应点分别为A，B，则在该几何体表面上，从点P到点Q的路径中，最短路径的长度为（ ） A．5 B．6 C．22 D．10 【答案】C 【解析】 【分析】 画出几何体的图形，然后PQ的路径有正面和右面以及正面和上面两种路径，分别计算出结果，得出答案. 【详解】 由题，几何体如图所示 （1）前面和右面组成一面 此时PQ=22+22=22 （2）前面和上面再一个平面 此时PQ=32+12=10 2210 故选C 【点睛】 本题考查了几何体的三视图以及相关的计算，解题的关键是PQ的路径有两种情况，属于较易题. 8．已知平面向量，的夹角为，且，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 分析：根据向量的运算，化简，由向量的数量积定义即可求得模长。

详解：平面向量数量积 ，所以 所以选C 点睛：本题考查了向量的数量积及其模长的求法，关键是理解向量运算的原理，是基础题。

9．已知双曲线的离心率为，且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 求出抛物线的准线，即得，再由离心率公式和，可得，，即可得到双曲线方程. 【详解】 抛物线的准线为，则有双曲线的一个焦点为，即， 由，可得，则， 即双曲线方程为. 故选：C. 【点睛】 本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，运用离心率公式和，， 的关系是解题的关键，属于基础题. 10．在长方体中，与平面所成角的大小为，与平面所成角的大小为，那么异面直线与所成角的余弦值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 分析：先找到与平面所成角，与平面所成角，再设出长方体的边长找到异面直线与所成角，最后利用余弦定理求异面直线与所成角的余弦值. 详解：由题得∠设AD=1,则 在△中，由余弦定理得. 因为,所以异面直线与所成角的余弦值是. 故答案为：. 点睛：（1）本题主要考查直线和平面所成的角和异面直线所成的角，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 异面直线所成的角的求法,方法一：（几何法）找作（平移法、补形法）证（定义）指求（解三角形）.方法二：（向量法），其中是异面直线所成的角，分别是直线的方向向量. 11．已知分别是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上一点， 为的内心，若，则该椭圆的离心率是 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 分析：首先根据三角形面积的关系，确定出三角形的三边的关系，结合椭圆的定义，得到，再根据椭圆的离心率的公式求得结果. 详解：设的内切圆的半径为，根据题意可得，，根据三角形的面积公式，可以求得，整理得，即，故选A. 点睛：该题考查的是有关椭圆的离心率的求解问题，在解题的过程中，需要注意根据题的条件，结合焦点三角形的特征，求得对应的离心率的大小. 12．函数，若，且，则下列不等式中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 利用导数，判断出函数在上的单调性，然后再判断函数的奇偶性，最后根据已知的不等式，利用单调性和奇偶性，得出结论． 【详解】 ，所以函数在上是减函数，又，所以函数在上是奇函数，所以有，根据单调性有 ，故本题选D. 【点睛】 本题考查了利用导数判断函数的单调性．考查了函数的奇偶性的判断．重点考查了利用函数性质解决两个自变量之间的关系． 第Ⅱ卷（非选择题) 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中的横线上。

13．已知满足约束条件，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 可行域为一个三角形ABC及其内部，其中 ，表示可行域内一点P到定点 连线的斜率，所以最小值为 . 点睛：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围. 14．在中，若 _________． 【答案】等腰三角形 【解析】 由正弦定理知，，所以由已知有，即，因为是三角形的内角，所以，则的形状是等腰三角形。

15．抛物线y2=4x与过其焦点且垂直于x轴的直线相交于A，B两点，其准线与x轴的交点为M，则过M，A，B三点的圆的标准方程为________. 【答案】(x－1)2＋y2=4 【解析】 ∵抛物线y2=4x与过其焦点且垂直于x轴的直线相交于A，B两点，∴不妨设A，B两点的坐标分别为：(1,2)，(1，－2)，又准线与x轴的交点为M，∴M点的坐标为(－1,0)， 则过M，A，B三点的圆的圆心在x轴，设圆心坐标为C(a,0)， 则|CA|=|CM|，即，解得a=1.∴圆心坐标为(1,0)，半径为2.故所求圆的标准方程为(x－1)2＋y2=4. 16．符号[x]表示不超过x的最大整数,如[e]=2,[π]=3,[—1.2]=—2,定义函数{x}=x—[x]给出下列四个结论： ①函数{x}的定义域是R,值域为[0,1] ②方程{x}=有无数个解; ③函数{x}是奇函数; ④函数{x}是增函数, 其中正确结论的序号是____(写出所有正确结论的序号) 【答案】② 【解析】 【分析】 利用的定义，结合函数的定义域、值域、奇偶性、单调性的定义进行判断 【详解】 ①函数的定义域是,但，其值域为，故错误 ②由，可得，则……都是方程的解，故正确 ③函数的定义域是,而，故函数不是奇函数，故错误 ④由②可得，……当……时，函数的值都为，故不是增函数，故错误 综上，故正确的是② 【点睛】 本题考查了新定义函数的性质，结合新函数定义，再运用函数的定义域、值域、奇偶性、单调性的定义即可作出判断 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17—21题为必做题,每个考生都必须作答.第22/23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分 17．等比数列{an}的各项均为正数，2a4,a3,4a5成等差数列，且a3=2a22． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设bn=2n+5(2n+1)(2n+3)an，求数列{bn}的前n项和Sn． 【答案】（1）an=12n；（2）13—1(2n+3)2n. 【解析】分析：设等比数列{an}的公比为q，然后将条件都转化成首项和公比，解方程可求出首项和公比，从而可求数列{an}的通项公式；（2）先求出数列{bn}的通项公式，然后利用裂项求和可求出数列{bn}的前n项和Sn. 详解：（1） 设等比数列{an}的公比为q，依题意，有 a3=2a4+4a52,a3=2a22.即a3=a4+2a5,a3=2a22. 所以a1q2=a1q3+2a1q4,a1q2=2a12q2. 由于a1≠0，q≠0，解之得a1=12,q=12.或a1=12,q=—1. 又a10,q0，所以a1=12,q=12， 所以数列{an}的通项公式为an=(12)n（n∈N*）． （2）解：由（1），得bn=2n+5(2n+1)(2n+3)⋅an =2n+5(2n+1)(2n+3)⋅12n． 所以bn=(22n+1—12n+3)⋅12n =1(2n+1)2n—1—1(2n+3)2n． 所以Sn=b1+b2+⋯+bn =(13—15⋅2)+(15⋅2—17⋅22)+⋯+[1(2n+1)2n—1—1(2n+3)2n] =13—1(2n+3)2n． 故数列{bn}的前n项和Sn=13—1(2n+3)2n． 点睛：本题主要考查等比数列的通项公式，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)1nn+k=1k1n—1n+k；（2） 1n+k+n =1kn+k—n； （3）12n—12n+1=1212n—1—12n+1；（4）1nn+1n+2=12 1nn+1—1n+1n+2；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误. 18．如图1所示，在等腰梯形中，，点为的中点.将沿折起，使点到达的位置，得到如图2所示的四棱锥，点为棱的中点. （1）求证：； （2）若，求三棱锥的体积. 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】 （1）连接，交于点，连接，易知底面是平行四边形，则为中点，又是中点，可知，则结论可证. （2）先证明是等腰直角三角形，由条件中的面面垂直可得平面，则由（1）可知平面，则为三棱锥的高，底面的面积容易求得，根据公式求三棱锥的体积. 【详解】 （1）在平面图中， 因为且， 所以四边形是平行四边形； 在立体图中， 连接，交于点，连接，所以点是的中点，又因为点为棱的中点， 所以，因为平面，平面， 所以平面； （2）在平面图中， 因为是平行四边形，所以，因为四边形是等腰梯形， 所以，所以，因为，所以； 在立体图中，， 又平面平面，且平面平面，平面 所以平面， 由（1）知，所以平面， 在等腰直角三角形中，因为，所以， 所以，又， 所以. 【点睛】 本题考查平面几何与立体几何的关系，线面平行的证明，面面垂直的性质等，有一定的综合性，属中等题. 19．如图是某企业年至年的污水净化量(单位：吨)的折线图. 注：年份代码分别对应年份. (1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合和的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立关于的回归方程，预测年该企业的污水净化量； (3)请用数据说明回归方程预报的效果. 参考数据：＝54，，，， 参考公式：相关系数， 线性回归方程，，， 反映回归效果的公式为：，其中越接近于，表示回归的效果越好. 【答案】（1）详见解析；（2）；吨；（3）详见解析. 【解析】 【分析】 （1）由折线图看出，与之间存在较强的正相关关系，将已知数据代入相关系数方程即可； （2）根据已知数据，求出回归系数，可得回归方程，将年对应的代入回归方程可预测该企业的污水净化量； （3）求出，即可得出结论. 【详解】 (1)由折线图中的数据得， ，，， 所以. 因为与的相关系数近似为，说明与的线性相关程度相当大，所以可以用线性回归模型拟合与的关系； (2)因为， ， 所以， 所以关于的线性回归方程为， 将年对应的代入上式，得， 所以预测年该企业污水净化量约为吨； (3)因为， 所以“污水净化量的差异”有87.5%是由年份引起的，这说明回归方程预报的效果是良好的. 【点睛】 本题考查线性回归综合问题，考查识图能力，着重考查分析理解能力和计算能力，属于常考题. 20．已知点满足,设点M的轨迹是曲线C． （1）求曲线C的方程． （2）过点且斜率为1的直线l与曲线C交于两点A,B,求（O为坐标原点）的面积 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】 （1）根据抛物线的定义，以及式子的意义，可以判断出点的轨迹是以点为焦点的抛物线，从而求得，进而得到抛物线的方程； （2）联立方程组，利用韦达定理求得，利用三角形的面积公式求解即可. 【详解】 （1）由已知得点M的轨迹是以点为焦点的抛物线 ∴∴ 所以曲线的方程为 （2）联立得 . 【点睛】 该题考查的是有关抛物线的问题，涉及到的知识点有根据定义求曲线方程，直线与抛物线的位置关系，对应三角形的面积公式，属于简单题目. 21．已知函数，． 求函数在点处的切线方程； 若存在常数，对任意，恒成立，求实数m的取值范围． 已知函数在区间上的最大值为，求实数的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】 求出函数的导数，计算k的值，求出切线方程即可； 设函数，问题转化为在时存在最小值，求出函数的导数，通过讨论m的范围，求出函数的单调区间，确定函数的最小值，从而确定m的范围即可； 根据函数的单调性确定存在唯一，使得，，求出的最大值，得到关于的方程，解出即可． 【详解】 ，， ， ， 函数在点处的切线方程为，即； 设函数， 若存在常数，对任意，恒成立， 则在时存在最小值， ，， 时，在递增，无最小值， 时，令，解得：， 由，解得：， 即时， 令，解得：， 令，解得：， 故在递减，在递增， ，符合题意， 时，， 在递增，无最小值，不合题意， 综上，； ，， ，显然在递减， 故存在唯一，使得， 即， 故时，，递增， 时，，递减， 故， ，显然是方程的解， 而在递增， 方程有且只有唯一的实数解， 把代入得：，解得：． 【点睛】 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题． （二）选考题：共10分.请考生在22,23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分. 22．选修4—4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中,曲线C1的参数方程为(α为参数),以原点O为极点,x轴的正半轴为级轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程; (1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程; (2)设P为曲线C1上的动点,求点P到曲线C2上的距离的最小值. 【答案】（1）C1的普通方程为: 曲线C2：x+y=6；（2）. 【解析】 试题分析：(1)消去参数α可得曲线C1的普通方程;利用化简可得曲线C2的直角坐标方程; (2)设椭圆上的点,利用点到直线的距离公式,结合三角函数的知识求解即可. 试题解析： (1)由曲线C1:为参数), 曲线C1的普通方程为: 由曲线C2:ρsin(π+)=3,展开可得: (sinθ+cosθ)=3, 化为:x+y=6. (2)椭圆上的点到直线O的距离为 其中, 所以当sin(α+φ)=1时,P的最小值为. 23．选修4—5：不等式选讲 已知函数. （1）求不等式的解集； （2）若证明：不等式恒成立. 【答案】(1)；(2)证明见解析. 【解析】 试题分析：（1）零点分区间去掉绝对值，分段求解即可；（2）将表达式去掉绝对值，可求得取最小值即证即可. 解析： （1） ， 即或或 解得. （2） 当时，单调递减， 当时，单调递增， 故时， 取最小值. 当时，恒成立， 即，故， 当时，在时取最大值， 所以不等式恒成立. 综上，不等式恒成立. 以下内容为“高中数学该怎么有效学习？” 1、先把教材上的知识点、理论看明白。买本好点的参考书，做些练习。如果没问题了就可以做些对应章节的试卷。做练习要对答案，最好把自己的错题记下来。平时学习也是，看到有比较好的解题方法，或者自己做错的题目，做标记，或者记在错题本上，大考之前那出来复习复习。

2、首先从课本的概念开始，要能举出例子说明概念，要能举出反例，要能用自己的话解释概念（理解概念） 然后由概念开始进行独立推理活动，要能把课本的公式、定理自己推导一遍（搞清来龙去脉），课本的例题要自己先试做，尽量自己能做的出来（依靠自己才是最可靠的力量）。

最后主动挑战问题（兴趣是最好的老师），要经常攻关一些问题。（白天攻，晚上钻，梦中还惦着它）        先看笔记后做作业。

有的高中学生感到。老师讲过的，自己已经听得明明白白了。但是，为什么自己一做题就困难重重了呢？其原因在于，学生对教师所讲的内容的理解，还没能达到教师所要求的层次。因此，每天在做作业之前，一定要把课本的有关内容和当天的课堂笔记先看一看。能否坚持如此，常常是好学生与差学生的最大区别。尤其练习题不太配套时，作业中往往没有老师刚刚讲过的题目类型，因此不能对比消化。如果自己又不注意对此落实，天长日久，就会造成极大损失。

做题之后加强反思。

学生一定要明确，现在正坐着的题，一定不是考试的题目。而是要运用现在正做着的题目的解题思路与方法。因此，要把自己做过的每道题加以反思。总结一下自己的收获。要总结出，这是一道什么内容的题，用的是什么方法。做到知识成片，问题成串，日久天长，构建起一个内容与方法的科学的网络系统。

主动复习总结提高。

进行章节总结是非常重要的。初中时是教师替学生做总结，做得细致，深刻，完整。高中是自己给自己做总结，老师不但不给做，而且是讲到哪，考到哪，不留复习时间，也没有明确指出做总结的时间。

积累资料随时整理。

要注意积累复习资料。把课堂笔记，练习，单元测试，各种试卷，都分门别类按时间顺序整理好。每读一次，就在上面标记出自己下次阅读时的重点内容。这样，复习资料才能越读越精，一目了然。

精挑慎选课外读物。

初中学生学数学，如果不注意看课外读物，一般地说，不会有什么影响。高中则不大相同。高中数学考的是学生解决新题的能力。作为一名高中生，如果只是围着自己的老师转，不论老师的水平有多高，必然都会存在着很大的局限性。因此，要想学好数学，必须打开一扇门，看看外面的世界。当然，也不要自立门户，另起炉灶。一旦脱离校内教学和自己的老师的教学体系，也必将事半功倍。

配合老师主动学习。

高中学生学习主动性要强。小学生，常常是完成作业就尽情的欢乐。初中生基本也是如此，听话的孩子就能学习好。高中则不然，作业虽多，但是只知道做作业就绝对不够；老师的话也不少，但是谁该干些什么了，老师并不一一具体指明，因此，高中学生必须提高自己的学习主动性。准备向将来的大学生的学习方法过渡。

合理规划步步为营。

高中的学习是非常紧张的。每个学生都要投入自己的几乎全部的精力。要想能迅速进步，就要给自己制定一个较长远的切实可行的学习目标和计划，详细的安排好自己的零星时间， 注意事项 我们在学习高中数学的时候，除了上课认真听老师讲解外，学习方法，学习习惯也很重要，只要学生认真努力，数学成绩提高是很容易的。

​ 数学的学习过程中千万不要有心理包袱和顾虑，任何学科也是一样，是一个慢慢学习和积累的过程。但要记住的一点，这个过程我们是否能真正的学好初三数学课程（或者其他课程），除了以上的方法，我们最终的目的是：要养成一个良好的学习习惯，要培养出自己优质的学习兴趣，要掌握和形成一套自己的学习方法。