最新最全考研高等数学全面复习资料函数与极限
目 录 、函数与极限 、集合概念 、常量与变量 3 、函数 3、函数简单性态 、反函数 5 5、复合函数 6 6、初等函数 6 7、双曲函数及反双曲函数 7 8、数列极限 8 9、函数极限 9 0、函数极限运算规则 考研数学极限计算答题技巧 、函数与极限 、集合概念 般 地我们把研究 对象统称 元素把些元素组成总体叫集合（简称集）。
集合具有确定性（给定集合元素必须是确定）和异性（给定集合元素是不相）。
比如“身材较高人”不能构成集合因它 元素不是确定。
我们通常用拉丁母、B、、……表示集合用写拉丁母、b、……表示集合元素。
如是集合元素就说属记作∈否则就说不属记作。
⑴、全体非整数组成集合叫做非整数集（或然数集）。
记作 ⑵、所有正整数组成集合叫做正整数集。
记作+或+。
⑶、全体整数组成集合叫做整数集。
记作Z。
⑷、全体有理数组成集合叫做有理数集。
记作Q。
⑸、全体实数组成集合叫做实数集。
记作R。
集合表示方法 ⑴、列举法把集合元素列举出并用“｛｝”括起表示集合 ⑵、描述法用集合所有元素共特征表示集合。
集合基关系 ⑴、子集般地对两集合、B如集合任元素都是集合B元素我们就说、B有包含关系称集合集合B子集记作 B（或B ）。
⑵相等如何集合是集合B子集且集合B是集合子集集合元素与集合B元素完全样因集合与集合B相等记作＝B。
⑶、真子集如何集合是集合B子集但存元素属B但不属我们称集合是集合B真子集。
⑷、空集我们把不含任何元素集合叫做空集。
记作 并规定空集是任何集合子集。
⑸、由上述集合基关系可以得到下面结论 ①、任何集合是它身子集。
即 ②、对集合、B、如是B子集B是子集则是子集。
③、我们可以把相等集合叫做“等集”这样话子集包括“真子集”和“等集”。
集合基运算 ⑴、并集般地由所有属集合或属集合B元素组成集合称与B并集。
记作∪B。
（并集它们公共元素并集只能出现次。
） 即∪B＝｛x|x∈或x∈B｝。
⑵、交集般地由所有属集合且属集合B元素组成集合称与B交集。
记作∩B。
即∩B＝｛x|x∈且x∈B｝。
⑶、补集 ①全集般地如集合含有我们所研究问题所涉及所有元素那么就称这集合全集。
通常记作。
②补集对集合由全集不属集合所有元素组成集合称集合相对全集补集。
简称集合补集记作。
即＝｛x|x∈且x ｝。
集合元素数 ⑴、有限集我们把含有有限元素集合叫做有限集含有无限元素集合叫做无限集。
⑵、用r表示有限集元素数。
例如＝｛,b,｝则r()3。
⑶、般地对任两集合、B有 r()+r(B)r(∪B)+r(∩B) 我问题 、学校里开运动会设＝｛x|x是参加米跑学｝B＝｛x|x是参加二米跑学｝＝｛x|x是参加四米跑学｝。
学校规定每参加上述比赛学多只能参加两项请你用集合运算说明这项规定并释以下集合运算含义。
⑴、∪B；⑵、∩B。
、平面直角坐标系集合＝{(x,)|x}表示直线＝x从这角看集合{(x,)|方程组x,x+5}表示什么？集合、有什么关系？请分别用集合语言和几何语言说明这种关系。
3、已知集合{x|≤x≤3}B＝{x|(x)(x)0}。
试判断B是不是子集？是否存实数使＝B成立？ 、对有限集合、B、能不能出这三集合元素数与交集、并集元素数关系呢？ 5、无限集合＝｛3……｝B＝｛68……｝你能设计种比较这两集合元素数多少方法吗？ 、常量与变量 ⑴、变量定义我们观察某现象程常常会遇到各种不量其有量程不起变化我们把其称常量；有量程是变化也就是可以取不数值我们则把其称变量。
程还有种量它虽然是变化但是它变化相对所研究对象是极其微我们则把它看作常量。
数轴上说区是指介某两线段上全体。
区名称 区满足不等式 区记 区数轴上表示 闭区 ≤x≤b [b] 开区 ＜x＜b （b） 半开区 ＜x≤b或≤x＜b （b]或[b） 以上我们所述都是有限区除外还有无限区 [+∞)表示不实数全体也可记≤x＜+∞； (∞b)表示b实数全体也可记∞＜x＜b； (∞+∞)表示全体实数也可记∞＜x＜+∞ 其∞和+∞分别作“无穷“和“正无穷“,它们不是数,仅仅是记。
⑶、邻域设α与δ是两实数且δ＞0满足不等式│xα│＜δ实数x全体称αδ邻域α称邻域心δ称邻域半径。
、函数 ⑴、函数定义如当变量x其变化围任取定数值量按照定法则总有确定数值与它对应则称是x函数。
通常x叫做变量叫做函数值（或因变量）变量变化围叫做这函数值域。
这里母““、““表示与x对应法则即函数关系,它们是可以任采用不母表示。
如变量定义域任取确定值函数只有确定值和它对应这种函数叫做单值函数否则叫做多值函数。
⑵、函数相等 由函数定义可知函数构成要素定义域、对应关系和值域。
由值域是由定义域和对应关系定所以如两函数定义域和对应关系完全致我们就称两函数相等。
⑶、域函数表示方法 )析法用数学式子表示变量和因变量对应关系方法即是析法。
例直角坐标系半径r、圆心原圆方程是x+r b)表格法将系列变量值与对应函数值列成表表示函数关系方法即是表格法。
例实际应用我们常会用到平方表三角函数表等都是用表格法表示函数。
)图示法用坐标平面上曲线表示函数方法即是图示法。
例直角坐标系半径r、圆心原圆用图示法表示 3、函数简单性态 ⑴、函数有界性如对属某区所有x值总有│(x)│≤成立其是与x无关常数那么我们就称(x)区有界否则便称无界。
函数如其整定义域有界则称有界函数 例题函数x(∞,+∞)是有界 ⑵、函数单调性如函数区(,b)随着x增而增即对(,b)任两x及x当x＜x有 则称函数区(,b)是单调增加。
如函数区(,b)随着x增而减即对(,b)任两x及x当x＜x有则称函数区(,b)是单调减。
例题函数x区(∞,0)上是单调减区(0,+∞)上是单调增加。
⑶、函数奇偶性 如函数对定义域任x都满足则叫做偶函数；如函数对定义域任x都满足则叫做奇函数。
⑷、函数周期性 对函数若存不零数l使得关系式对定义域任何x值都成立则叫做周期函数l是周期。
、反函数 ⑴、反函数定义设有函数若变量函数值域任取值0变量x函数定义域必有值x0与对应即那末变量x是变量函数这函数用表示称函数反函数 由定义可知函数也是函数反函数。
⑵、反函数存定理若(b)上严格增(减)其值域 R则它反函数必然R上确定且严格增(减) 严格增(减)即是单调增(减) 例题x其定义域(∞,+∞)值域[0,+∞)对取定非值,可得x±若我们不加条件由值就不能唯确定x值也就是区(∞,+∞)上函数不是严格增(减)故其没有反函数。
即是函数要下严格增(减) ⑶、反函数性质坐标平面与图形是关直线x对称。
如右图所示 5、复合函数 复合函数定义若是函数而又是x函数且函数值全部或部分定义域那末通系也是x函数我们称函数是由函数及复合而成函数简称复合函数记作其叫做变量。
因对定义域(∞,+∞)任何x值所对应值（都或等）使都没有定义。
6、初等函数 ⑴、基初等函数我们常用有五种基初等函数分别是指数函数、对数函数、幂函数、三角函数及反三角函数。
下面我们用表格把它们总结下 函数名称 函数记 函数图形 函数性质 指数函数 )不论x何值,总正数; b)当x0, 对数函数 )其图形总位轴右侧,并(,0) b)当＞,区(0,)值；区(,+∞)值正；定义域单调增 幂函数 任实数 这里只画出部分函数图形部分。
令 )当偶数奇数,是偶函数; b)当,都是奇数,是奇函数; )当奇偶,(∞,0)无义 三角函数 (正弦函数) 这里只写出了正弦函数 )正弦函数是以π周期周期函数 b)正弦函数是奇函数且 反三角函数 (反正弦函数) 这里只写出了反正弦函数 )由函数多值函数,因我们函数值限制[π,π]上,并称其反正弦函数主值 ⑵、初等函数由基初等函数与常数有限次有理运算及有限次函数复合所产生并且能用析式表出函数称初等函数 例题是初等函数。
7、双曲函数及反双曲函数 ⑴、双曲函数应用我们常遇到双曲函数是(用表格描述) 函数名称 函数表达式 函数图形 函数性质 双曲正弦 )其定义域(∞,+∞)； b)是奇函数； )定义域是单调增 双曲余弦 )其定义域(∞,+∞)； b)是偶函数； )其图像(0,)； 双曲正切 )其定义域(∞,+∞)； b)是奇函数； )其图形夹水平直线及；定域单调增； 我们再看下双曲函数与三角函数区别 双曲函数性质 三角函数性质 x与x是奇函数x是偶函数 x与x是奇函数x是偶函数 它们都不是周期函数 都是周期函数 双曲函数也有和差公式 ⑵、反双曲函数双曲函数反函数称反双曲函数 )反双曲正弦函数 其定义域(∞,+∞)； b)反双曲余弦函数 其定义域[,+∞)； )反双曲正切函数 其定义域(,+)； 8、数列极限 我们先回忆下初等数学学习数列概念。
⑴、数列若按照定法则有数二数…依次排列下使得任何正整数对应着确定数那末我们称这列有次序数……数列数列每数叫做数列项。
项叫做数列般项或通项 我们也可以把数列看作变量正整数函数即它定义域是全体正整数 ⑵、极限极限概念是实际问题精确答而产生。
例我们可通作圆接正多边形近似出圆面积。
设有圆首先作圆接正六边形把它面积记；再作圆接正十二边形其面积记；再作圆接正二十四边形其面积记3；依次循下(般把接正6×边形面积记)可得系列接正多边形面积3……它们就构成列有序数列。
我们可以发现当接正多边形边数无限增加也无限接近某确定数值(圆面积)这确定数值数学上被称数列3…… 当→∞(作趋近无穷)极限。
上面这例子就是我国古代数学刘徽(公元三世纪)割圆术。
⑶、数列极限般地对数列说若存任给定正数ε(不论其多么)总存正整数使得对＞切不等式都成立那末就称常数是数列极限或者称数列收敛 记作或 定义正数ε只有任给定不等式才能表达出与无限接近思。
且定义正整数与任给定正数ε是有关它是随着ε给定而选定。
⑷、数列极限几何释我们可能不易理这概念下面我们再给出它几何释以使我们能理它。
数列极限几何释将常数及数列数轴上用它们对应表示出再数轴上作ε邻域即开区(ε+ε)如下图所示 因不等式与不等式等价故当＞所有都落开区(ε+ε)而只有有限(至多只有)区以外。
⑸、数列有界性对数列若存着正数使得切都满足不等式││≤则称数列是有界若正数不存则可说数列是无界。
有界数列不定收敛即数列有界是数列收敛必要条件但不是充分条件。
例数列 …()+… 是有界但它是发散。
9、函数极限 前面我们学习了数列极限已知道数列可看作类特殊函数即变量取 →∞正整数若变量不再限正整数顺序而是连续变化就成了函数。
下面我们学习函数极限 函数极值有两种情况)变量无限增；b)变量无限接近某定x0如这函数值无限接近某常数就叫做函数存极值。
我们已知道函数极值情况那么函数极限如何呢 ? 下面我们结合着数列极限学习下函数极限概念! ⑴、函数极限(分两种情况) )变量趋向无穷函数极限 定义设函数若对任给定正数ε(不论其多么)总存着正数X使得对适合不等式 切x所对应函数值都满足不等式 那末常数就叫做函数当x→∞极限记作 下面我们用表格把函数极限与数列极限对比下 数列极限定义 函数极限定义 存数列与常数任给正数ε＞0总可到正整数对＞所有都满足＜ε则称数列当x→∞收敛记。
存函数与常数任给正数ε＞0总可到正数X对适合切x都满足函数当x→∞极限记。
从上表我们发现了什么 ？？试思考 b)变量趋向有限值函数极限。
我们先看例子 例函数当x→函数值变化趋势如何？函数x处无定义我们知道对实数讲数轴上任何有限围都有无穷多我们把x→函数值变化趋势用表列出,如下图 从我们可以看出x→→而且只要x与有多接近就与有多接近或说只要与只差微量ε就定可以到δ当＜δ满足＜δ定义设函数某x0某心邻域有定义且存数如对任给定ε(不论其多么)总存正数δ当0＜＜δ＜ε则称函数当x→x0存极限且极限记。
定义什么是心邻域呢？这是因我们只讨论x→x0程与xx0出情况无关。
定义核心问题是对给出ε是否存正数δ使其心邻域x满足不等式。
有些候我们要用极限定义证明函数极限 其证明方法是怎样呢？ )先任取ε＞0； b)写出不等式＜ε； )不等式能否得出心邻域0＜＜δ若能； )则对任给ε＞0总能出δ当0＜＜δ＜ε成立因 0、函数极限运算规则 前面已学习了数列极限运算规则我们知道数列可作类特殊函数故函数极限运算规则与数列极限运算规则相似。
⑴、函数极限运算规则 若已知x→x0(或x→∞) 则 推论 函数极限利用上述规则就可把复杂函数化若干简单函数极限。
例题 答 例题 题如像上题那样则会发现函数极限不存我们通观察可以发现分式分子和分母都没有极限像这种情况怎么办呢？下面我们把它出。
答 通例题我们可以发现当分式分子和分母都没有极限就不能运用商极限运算规则了应先把分式分子分母化存极限情形然运用规则。
函数极限存准则 学习函数极限存准则前我们先学习下左、右概念。
我们先看例子 例函数 对这分段函数,x从左趋0和从右趋0函数极限是不相我们定义了左、右极限概念。
定义如x仅从左侧(x＜x0)趋近x0函数与常量无限接近则称函数当左极限记 如x仅从右侧(x＞x0)趋近x0函数与常量无限接近则称函数当右极限记 只有当x→x0函数左、右极限存且相等方称x→x0有极限 函数极限存准则 准则对x0某邻域切xx0身可以除外(或绝对值某正数切x)有≤≤且 那末存且等 准则也就是夹逼准则 准则二单调有界函数必有极限 有极限函数不定单调有界 两重要极限 其无理数它值788885905 二 我们对这两重要极限不加以证明 我们要牢记这两重要极限今题会常用到它们 例题 答令则x因x→∞故→∞ 则 类型题定要代换变量趋向情况象x→∞若用代换x则→0 无穷量和无穷量 无穷量 我们先看例子 已知函数当x→0可知我们把这种情况称趋向无穷。
我们可定义如下设有函数xx0心邻域有定义对任给定正数(任数)总可到正数δ当 成立则称函数当无穷量。
记（表示无穷量实际它是没有极限） 样我们可以给出当x→∞无限趋定义设有函数当x充分有定义对任给定正数(任数)总可以到正数当成立则称函数当x→∞是无穷量记 无穷量 以零极限变量称无穷量。
定义设有函数对任给定正数ε(不论它多么)总存正数δ(或正数)使得对适合不等式(或)切x所对应函数值满足不等式则称函数当(或x→∞) 无穷量 记作(或) 无穷量与无穷量都是变化不定量不是常量只有0可作无穷量唯常量。
无穷量与无穷量区别是前者无界者有界前者发散者收敛0无穷量与无穷量是倒数关系 关无穷量两定理 定理如函数(或x→∞)有极限则差是当(或x→∞)无穷量反亦成立。
定理二无穷量有利运算定理 )有限无穷量代数和仍是无穷量； b)有限无穷量积仍是无穷量；)常数与无穷量积也是无穷量 无穷量比较 通前面学习我们已知道两无穷量和、差及乘积仍旧是无穷那么两无穷量商会是怎样呢？接下我们就这问题这就是我们要学两无穷量比较。
定义设αβ都是无穷量且βx0心领域不零 )如则称α是β高阶无穷或β是α低阶无穷； b)如则称α和β是阶无穷； )如则称α和β是等价无穷记作α∽β(α与β等价) 例因所以当x→0x与3x是阶无穷； 因所以当x→0x是3x高阶无穷； 因所以当x→0x与x是等价无穷。
等价无穷性质 设且存则 这性质表明两无穷比极限分子及分母都可用等价无穷代替因我们可以利用这性质简化极限问题。
例题 答当x→0x∽xbx∽bx故 例题 答 从这例题我们可以发现作无穷变换要代换式某项不能只代换某因子。
函数重要性质——连续性 然界有许多现象如气温变化植物生长等都是连续地变化着这种现象函数关系上反映就是函数连续性 定义函数连续性前我们先学习概念——增量 设变量x从它初值x变到终值x终值与初值差xx就叫做变量x增量记△x即△xxx 增量△x可正可 我们再看例子函数x0邻域有定义当变量x领域从x0变到x0+△x函数相应地从变到其对应增量 这关系式几何释如下图 现我们可对连续性概念这样描述如当△x趋向零函数对应增量△也趋向零即那末就称函数x0处连续。
函数连续性定义 设函数x0某邻域有定义如有称函数x0处连续且称x0函数连续 下面我们结合着函数左、右极限概念再学习下函数左、右连续概念设函数区(,b]有定义如左极限存且等即那末我们就称函数b左连续设函数区[,b)有定义如右极限存且等即那末我们就称函数右连续 函数开区(,b)每连续,则(,b)连续若又右连续b左连续则闭区[b]连续如整定义域连续则称连续函数。
函数若定义域某左、右都连续则称函数连续否则不连续 连续函数图形是条连续而不断曲线。
通上面学习我们已知道函数连续性了我们可以想到若函数某要是不连续会出现什么情形呢？接着我们就学习这问题函数断 函数断 定义我们把不满足函数连续性称断 它包括三种情形 )x0无定义； b)x→x0无极限； )x→x0有极限但不等； 下面我们通例题学习下断类型 例 正切函数处没有定义所以是函数断因我们就称函数无穷断； 例函数x0处没有定义；故当x→0函数值与+变动无限多次我们就称x0叫做函数振荡断； 例3函数当x→0左极限右极限从这我们可以看出函数左、右极限虽然都存但不相等故函数x0是不存极限。
我们还可以发现x0函数值产生跳跃现象我们把这种断称跳跃断；我们把上述三种断用几何图形表示出如下 断分类 我们通常把断分成两类如x0是函数断且其左、右极限都存我们把x0称函数类断；不是类断任何断称二类断 可断 若x0是函数断但极限存那末x0是函数类断。
函数不连续原因是不存或者是存但≠。
连续函数性质及初等函数连续性 连续函数性质 函数和、积、商连续性 我们通函数某连续定义和极限四则运算法则可得出以下结论 )有限某连续函数和是该连续函数； b)有限某连续函数乘积是该连续函数； )两某连续函数商是该连续函数(分母该不零)； 反函数连续性 若函数某区上单调增(或单调减)且连续那末它反函数也对应区上单调增(单调减)且连续 例函数闭区上单调增且连续故它反函数闭区[,]上也是单调增且连续。
复合函数连续性 设函数当x→x0极限存且等即而函数连续那末复合函数当x→x0极限也存且等即 例题 答 函数可看作与复合而成且函数连续因可得出上述结论。
设函数xx0连续且而函数0连续那末复合函数xx0也是连续 初等函数连续性 通前面我们所学概念和性质我们可得出以下结论基初等函数它们定义域都是连续；切初等函数其定义域也都是连续 闭区上连续函数性质 闭区上连续函数则是其连续区左端右连续右端左连续对闭区上连续函数有几条重要性质下面我们学习下 值值定理闭区上连续函数定有值和值。
(不作证明) 例函数x闭区[0π]上连续则xπ处它函数值且闭区[0π]上其它各出函数值；则x3π处它函数值且闭区[0π]上其它各出函数值。
即μα、β则[b]定有ξ使 推论 闭区连续函数必取得介值值任何值。
二、导数与微分 导数概念 学习到数概念前我们先讨论下物理学变速直线运动瞬速问题。
例设质沿x轴运动其位置x是函数质0瞬速？我们知道从0有增量△质位置有增量 这就是质段△位移。
因段质平速若质是匀速运动则这就是0瞬速若质是非匀速直线运动则这还不是质0瞬速。
我们认当段△无限地接近0平速会无限地接近质0瞬速即质0瞬速就产生了导数定义如下 导数定义设函数x0某邻域有定义当变量xx0处有增量△x(x+△x也该邻域)相应地函数有增量若△与△x比当△x→0极限存则称这极限值x0处导数。
这函数对区(,b)每确定x值都对应着确定导数这就构成新函数我们就称这函数原函数导函数。
导数也就是差商极限 左、右导数 前面我们有了左、右极限概念导数是差商极限因我们可以给出左、右导数概念。
函数x0处左右导数存且相等是函数x0处可导充分必要条件 函数和、差导法则 函数和差导法则 法则两可导函数和(差)导数等这两函数导数和(差)用公式可写。
其、v可导函数。
例题已知 答 例题已知 答 函数积商导法则 常数与函数积导法则 法则常数与可导函数乘积导数常数因子可以提到导记外面。
用公式可写成 例题已知 答 函数积导法则 法则两可导函数乘积导数等因子导数乘二因子加上因子乘二因子导数。
用公式可写成 例题已知 答 若是三函数相乘则先把其两看成项。
函数商导法则 法则两可导函数商导数等分子导数与分母导数乘积减分母导数与分子导数乘积除以分母导数平方。
用公式可写成 例题已知 答 复合函数导法则 学习法则前我们先看例子! 例题? 答由故 这答正确吗? 这答是错误正确答应该如下 我们发生错误原因是是对变量x导而不是对x导。
下面我们给出复合函数导法则 复合函数导规则 规则两可导函数复合而成复合函数导数等函数对变量导数乘上变量对变量导数。
用公式表示 其变量 例题已知 答设,则可分,因 以题我们可以步骤省。
例题已知 答 反函数导法则 根据反函数定义函数单调连续函数则它反函数,它也是单调连续我们可给出反函数导法则如下(我们以定理形式给出) 定理若是单调连续且则它反函数x可导且有 通定理我们可以发现反函数导数等原函数导数倒数。
即 是对导是对x导 例题导数 答函数反函数故则 例题导数 答函数反函数故则 高阶导数 我们知道物理学上变速直线运动速v()是位置函数()对导数即 而加速又是速v对变化率即速v对导数 或。
下面我们给出它数学定义 定义函数导数仍然是x函数我们把导数叫做函数二阶导数记作或即或相应地把导数叫做函数阶导数类似地二阶导数导数叫做三阶导数三阶导数导数叫做四阶导数…般地()阶导数导数叫做阶导数 分别记作…或… 二阶及二阶以上导数统称高阶导数。
由可见高阶导数就是多次接连地导所以高阶导数可运用前面所学导方法。
答 般地可得 隐函数及其导法则 我们知道用析法表示函数可以有不形式若函数可以用含变量x算式表示像x+3x等这样函数叫显函数前面我们所遇到函数多都是显函数 般地如方程(x,)0令x某区任取值相应地总有满足方程值存则我们就说方程(x,)0该区上确定了x隐函数把隐函数化成显函数形式叫做隐函数显化。
有些隐函数并不是很容易化显函数那么其导数该如何呢？下面让我们这问题 隐函数导 若已知(x,)0般按下列步骤进行 )若方程(x,)0能化形式则用前面我们所学方法进行导； b)若方程(x,)0不能化形式则是方程两边对x进行导并把看成x函数用复合函数导法则进行。
例题已知 答方程不易显化故运用隐函数导法两边对x进行导 故 我们对隐函数两边对x进行导定要把变量看成x函数然对其利用复合函数导法则进行导。
有些函数导数若对其直接导有很不方便像对某些幂函数进行导有没有种比较直观方法呢？下面我们再学习种导方法对数导法 对数导法 对数导法则根据隐函数导方法对某函数先取函数然对数然导。
方法特别适用幂函数导问题。
例题已知x＞0 题若对其直接导比较麻烦我们可以先对其两边取然对数然再把它看成隐函数进行导就比较简便些。
如下 答先两边取对数 把其看成隐函数再两边导 因所以 例题已知 题可用复合函数导法则进行导但是比较麻烦下面我们利用对数导法进行导 答先两边取对数再两边导因所以 函数微分 学习函数微分前我们先分析具体问题块正方形金属薄片受温变化影响其边长由x0变到了x0+△x则薄片面积改变了多少？ 答设薄片边长x面积则是x函数 薄片受温变化影响面积改变量可以看成是当变量x从x0取增量△x函数相应增量△即。
从上式我们可以看出△分成两部分部分是△x线性函数即下图红色部分；二部分即图黑色部分当△x→0它是△x高阶无穷表示 由我们可以发现如边长变化很面积改变量可以近似用地部分代替。
下面我们给出微分数学定义 函数微分定义设函数某区有定义x0及x0+△x这区若函数增量可表示其是不依赖△x常数是△x高阶无穷则称函数x0可微。
通上面学习我们知道微分是变量改变量△x线性函数与△差是关△x高阶无穷量我们把称作△线性主部。
是我们又得出当△x→0△≈导数记 现我们可以发现它不仅表示导数记而且还可以表示两微分比值(把△x看成x,即定义变量增量等变量微分)还可表示 由我们得出若函数某区上可导则它区上定可微反亦成立。
微分形式不变性 什么是微分形式不边形呢？ 设则复合函数微分 由故我们可以把复合函数微分写成 由可见不论是变量还是变量微分总可以用与乘积表示 我们把这性质称微分形式不变性。
例题已知 答把x+看成变量根据微分形式不变性则 通上面学习我们知道微分与导数有着不可分割系前面我们知道基初等函数导数公式和导数 运算法则那么基初等函数微分公式和微分运算法则是怎样呢？ 下面我们学习———基初等函数微分公式与微分运算法则 基初等函数微分公式与微分运算法则 基初等函数微分公式 由函数微分表达式是我们通基初等函数导数公式可得出基初等函数微分公式下面我们用表格把基初等函数导数公式与微分公式对比下(部分公式) 导数公式 微分公式 微分运算法则 由函数和、差、积、商导法则可推出相应微分法则了便理下面我们用表格把微分运算法则与导数运算法则对照下 函数和、差、积、商导法则 函数和、差、积、商微分法则 复合函数微分法则就是前面我们学到微分形式不变性不再详述。
例题设对x3导数 答根据微分形式不变性 微分应用 微分是表示函数增量线性主部计算函数增量有比较困难但计算微分则比较简单我们用函数微分近似代替函数增量这就是微分近似计算应用 例题近似值。
答我们发现用计算方法特别麻烦把化微分问题 故其近似值05(精确值0695) 三、导数应用 微分学值定理 给出微分学值定理数学定义前我们先从几何角看问题如下 设有连续函数与b是它定义区两(＜b)假定函数(,b)处处可导也就是(,b)函数图形上处处都由切线那末我们从图形上容易直到 差商就是割线B斜率若我们把割线B作平行身移动那么至少有次机会达到离割线远(x)处成曲线切线而曲线斜率由切线与割线是平行因 成立。
这结就称微分学值定理也称拉格朗日值定理 拉格朗日值定理 如函数闭区[,b]上连续开区(,b)可导那末(,b)至少有使 成立。
这定理特殊情形即情形称罗尔定理。
描述如下 若闭区[,b]上连续开区(,b)可导且那末(,b)至少有使成立。
这定理是罗尔7世纪初微积分发明前以几何形式提出。
我们对这两定理不加以证明若有什么疑问请参考相关籍 下面我们学习条通拉格朗日值定理推广得定理——柯西值定理 柯西值定理 如函数闭区[b]上连续开区(b)可导且≠0那末(b)至少有使成立。
例题证明方程0与至少有实根 证明不难发现方程左端是函数导数 函数[0]上连续(0,)可导且由罗尔定理 可知0与至少有使即 也就是方程0与至少有实根 定式问题 问题什么样式子称作定式呢？ 答案对函数,说当x→(或x→∞)函数,都趋零或无穷 则极限可能存也可能不存我们就把式子称定式。
分别记型 我们容易知道对定式极限法是不能应用“商极限等极限商“这法则那么我们该如何这类问题极限呢？ 下面我们学习罗彼塔(L＇l)法则它就是这问题答案 它是根据柯西值定理推出。
罗彼塔(L＇l)法则 当x→(或x→∞)函数,都趋零或无穷某心邻域(或当│x│＞)与都存≠0且存 则 这种通分子分母导再极限确定定式方法就是所谓罗彼塔(L＇l)法则 它是以前极限法则补充以前利用法则不极限可利用法则。
例题 答容易看出题利用以前所学法则是不易因它是定式型问题因我们就可以利用上面所学法则了。
例题 答题定式型问题利用罗彼塔法则 另外若遇到 、、 、 、 等型通常是化型利用法则。
例题 答题利用以前所学法则是不它型故可先将其化型 罗彼塔法则只是说明对定式说当存则存且二者极限相；而并不是不存也不存只是说明了罗彼塔法则存条件破列。
函数单调性判定法 函数单调性也就是函数增减性怎样才能判断函数增减性呢？ 我们知道若函数某区上单调增(或减)则区函数图形上切线斜率正(或),也就是函数导数区上取正值(或值)因我们可通判定函数导数正判定函数增减性 判定方法 设函数[,b]上连续(,b)可导 )如(,b)＞0那末函数[,b]上单调增加； b)如(,b)＜0那末函数[,b]上单调减少 例题确定函数增减区 答容易确定函数定义域(－∞,＋∞) 其导数因可以判出 当x＞0＞0故它单调增区(0,＋∞)； 当x＜0＜0故它单调减区(∞,0)； 判定方法若反讲则是不正确。
函数极值及其法 学习函数极值前我们先看例子 设有函数容易知道x及x是函数单调区分界又可知x左侧附近函数值是单调增加x右侧附近函数值是单调减因存着x邻域,对这邻域,任何x(x除外)＜成立x也有类似情况(不多说),什么这些有这些性质呢？ 事实上这就是我们将要学习容——函数极值 函数极值定义 设函数区(,b)有定义x0是(,b) 若存着x0邻域对这邻域任何x(x0除外)＜成立 则说是函数极值； 若存着x0邻域对这邻域任何x(x0除外)＞成立 则说是函数极值 函数极值与极值统称函数极值使函数取得极值称极值。
我们知道了函数极值定义了怎样函数极值呢？ 学习这问题前我们再学习概念——驻 凡是使x称函数驻。
判断极值存方法有两种如下 方法 设函数x0邻域可导且 情况若当x取x0左侧邻近值＞0当x取x0右侧邻近值＜0 则函数x0取极值。
情况若当x取x0左侧邻近值＜0当x取x0右侧邻近值＞0 则函数x0取极值。
判定方法也适用导数x0不存情况。
用方法极值般步骤是 )； b)全部——驻； )判断驻两侧变化规律即可判断出函数极值。
例题极值 答先导数 再出驻当x、、5 判定函数极值如下图所示 方法二 设函数x0具有二阶导数且 则)当＜0函数x0取极值； b)当＞0函数x0取极值； )当0其情形不定可由方法判定 例题我们仍以例例以比较这两种方法区别。
函数值、值及其应用 工农业生产、工程技术及科学实验常会遇到这样类问题定条件下怎样使“产品多“、“用省“、“成低“等。
这类问题数学上可归结某函数值、值问题。
要[,b]上值、值可出开区(,b)全部极值加上端值从取得值、值即所。
答区处处可导 先函数极值故x± 再比较端与极值函数值取出值与值即所。
例题圆柱形罐头高与半径R应怎样配使样容积下材省？ 答由题可知常数 面积 故V不变条件下改变R使取值。
故用省。
曲线凹向与拐 通前面学习我们知道由阶导数正可以判定出函数单调区与极值但是还不能进步研究曲线性态我们还要了曲线凹性。
定义 对区曲线作切线如曲线弧所有切线下面则称曲线区下凹如曲线切线上面称曲线区上凹。
曲线凹向判定定理 定理设函数区(,b)上可导它对应曲线是向上凹(或向下凹)充分必要条件是 导数区(,b)上是单调增(或单调减)。
定理二设函数区(,b)上可导并且具有阶导数和二阶导数；那末 若(,b)＞0则[,b]对应曲线是下凹； 若(,b)＜0则[,b]对应曲线是上凹； 例题判断函数凹向 答我们根据定理二判定。
拐定义 连续函数上上凹弧与下凹弧分界称曲线上拐。
拐定判定方法 如区(,b)具有二阶导数我们可按下列步骤判定拐。
()； ()令0出方程区(,b)实根； (3)对()出每实根x0检x0左、右两侧邻近若相反则是拐若相则不是拐。
例题曲线拐。
答由 令0得x03 判断03左、右两侧邻近可知两皆是曲线拐。
四、不定积分 不定积分概念 原函数概念 已知函数(x)是定义某区函数如存函数(x)使得该区任都有 ＇(x)(x)x 则该区就称函数(x)函数(x)原函数。
例x是x原函数。
关原函数问题 函数(x)满足什么条件是才保证其原函数定存呢？这问题我们以。
若其存原函数那末原函数共有多少呢？ 我们可以明显看出若函数(x)函数(x)原函数 即“(x)(x) 则函数族(x)+(任常数）任函数定是(x)原函数 故若函数(x)有原函数那末其原函数无穷多 不定积分概念 函数(x)全体原函数叫做函数(x)不定积分 记作。
由上面定义我们可以知道如函数(x)函数(x)原函数那末(x)不定积分就是函数族 (x)+ 即(x)+ 例题 答由故 不定积分性质 、函数和不定积分等各函数不定积分和； 即 、不定积分被积函数不零常数因子可以提到积分外面 即 不定积分方法 换元法 换元法（）设()具有原函数()g(x)可导那末[g(x)]是[g(x)]g＇(x)原函数 即有换元公式 例题 答这积分基积分表是不到故我们要利用换元法。
设x那末xx因 换元法（二）设xg()是单调可导函数并且g＇()≠0又设[g()]g＇()具有原函数φ() 则φ[g(x)]是(x)原函数(其g(x)是xg()反函数） 即有换元公式 例题 答这积分困难有根式但是我们可以利用三角公式换元 设x(ππ)那末x,是有 关换元法问题 不定积分换元法是复合函数导法则基础上得我们应根据具体实例选择所用方法不定积分不象导那样有规则可依因要想熟练出某函数不定积分只有作量练习。
设函数(x)及vv(x)具有连续导数我们知道两函数乘积导公式 (v)＇＇v+v＇移项得 v＇(v)＇＇v对其两边不定积分得 这就是分部积分公式 例题 答这积分用换元法不易得出结我们利用分部积分法。
设xvxx那末xvx代入分部积分公式得 关分部积分法问题 使用分部积分法应恰当选取和v否则就会南辕北辙。
选取和v般要考虑两 ()v要容易得； ()容易积出。
几种特殊类型函数积分举例 有理函数积分举例 有理函数是指两多项式商所表示函数当分子高项次数分母高项次数称假分式 反真分式。
有理函数不定积分若有理函数假分式应先利用多项式除法把假分式化成多项式和真分式和形式然再。
例题 答 关有理函数积分问题 有理函数积分具体方法请参照有关籍请谅。
三角函数有理式积分举例 三角函数有理式是指由三角函数和常数有限次四则运算所构成函数。
例题 答 关三角函数有理式积分问题 任何三角函数都可用正弦与余弦函数表出故变量代换(x)对三角函数有理式积分应用我 们不再举例。
简单无理函数积分举例 例题 答设是x+x从而所积分 五、定积分及其应用 定积分概念 我们先看实际问题———曲边梯形面积。
设曲边梯形是有连续曲线(x)、x轴与直线x、xb所围成。
如下图所示 现计算它面积我们知道矩形面积法但是图形有边是条曲线该如何呢？ 我们知道曲边梯形底边上各处高(x)区[,b]上变动而且它高是连续变化因很段区变化很近似不变并且当区长无限缩高变化也无限减。
因如把区[,b]分成许多区每区上用其某高近似代替区上窄曲变梯形变高我们再根据矩形面积公式即可出相应窄曲边梯形面积近似值从而出整曲边梯形近似值。
显然把区[,b]分越细所出面积值越接近精确值。
定积分概念 设函数(x)[,b]上有界[,b]任插入若干分 x0xxxb 把区[,b]分成区 [x0x][x,x], 每区[x,x]上任取ξ(x≤ξ≤x),作函数值(ξ)与区长乘积(ξ)△x 并作出和 如不论对[,b]怎样分法也不论区上ξ怎样取法只要当区长趋零和总趋确定极限 这我们称这极限函数(x)区[,b]上定积分 记作。
即 关定积分问题 我们有了定积分概念了那么函数(x)满足什么条件才可积？ 定理（）设(x)区[,b]上连续则(x)区[,b]上可积。
（）设(x)区[,b]上有界且只有有限断则(x)区[,b]上可积。
定积分性质 性质()函数和(差)得定积分等它们定积分和(差） 即 性质()被积函数常数因子可以提到积分外面 即 性质(3)如区[,b]上(x)≤g(x)则≤ （b) 性质()设及分别是函数(x)区[,b]上值及值则 (b)≤≤(b) 性质(5)如(x)区[,b]上连续则积分区[,b]上至少存ξ使下式成立 (ξ)(b) 性质就是定积分值定理。
微积分积分公式 积分上限函数及其导数 设函数(x)区[,b]上连续并且设x[,b]上现我们考察(x)部分区[,x]上定积分,我们知道(x)[,x]上仍旧连续因定积分存。
如上限x区[,b]上任变动则对每取定x值定积分有对应值所以它[,b]上定义了函数记作φ(x) 了明确起见我们改换了积分变量（定积分与积分变量记法无关） 定理()如函数(x)区[,b]上连续则积分上限函数[,b]上具有导数 并且它导数是 （≤x≤b) ()如函数(x)区[,b]上连续则函数就是(x)[,b]上原函数。
定理（）即肯定了连续函数原函数是存又初步揭示了积分学定积分与原函数系。
牛顿莱布尼兹公式 定理(3)如函数(x)是连续函数(x)区[,b]上原函数则 公式被称牛顿莱布尼兹公式它进步揭示了定积分与原函数(不定积分）系。
它表明连续函数区[,b]上定积分等它任原函数再见[,b]上增量。
因它就 给定积分提供了有效而简便计算方法。
例题 答我们由牛顿莱布尼兹公式得 通常也把牛顿莱布尼兹公式称作微积分基公式。
定积分换元法与分部积分法 定积分换元法 我们知道定积分可以化原函数增量前面我们又知道用换元法可以出些函数原函数。
因定条件下可以用换元法计算定积分。
定理设函数(x)区[,b]上连续；函数g()区[,]上是单值且有连续导数；当区[,]上变化xg()值[,b]上变化且g(),g()b；则有定积分换元公式 例题计算 答设x,则x,且当x00；当xπ是 使用定积分换元法当积分变量变换积分上下限也要作相应变换。
定积分分部积分法 计算不定积分有分部积分法相应地计算定积分也有分部积分法。
设(x)、v(x)区[,b]上具有连续导数＇(x)、v＇(x)则有(v)＇＇v+v＇,分别等式两端[,b]上定积分并移向得 上式即定积分分部积分公式。
例题计算 答设且当x00；当x由前面换元公式得 再用分部积分公式计算上式右端积分。
设,v,则,v是 故 广义积分 些实际问题我们常遇到积分区无穷区或者被积函数积分区上具有无穷断积分它们已不属前面我们所学习定积分了。
积分区无穷区广义积分 设函数(x)区[,+∞)上连续取b如极限 存 则极限叫做函数(x)无穷区[,+∞）上广义积分 记作 即 也就是说广义积分收敛。
如上述即先不存则说广义积分发散虽然用样记但它已不表示数值了。
类似地设函数(x)区(∞b]上连续取b如极限 存 则极限叫做函数(x)无穷区(∞b]上广义积分 记作 即 也就是说广义积分收敛。
如广义积分和都收敛则称上述两广义积分和函数(x)无穷区(∞,+∞)上广义积分 记作 即 上述广义积分统称积分区无穷广义积分。
例题计算广义积分 答 二积分区有无穷断广义积分 设函数(x)(,b]上连续而取ε0如极限 存则极限叫做函数(x)(,b]上广义积分 仍然记作 即 这也说广义积分收敛如上述极限不存就说广义积分发散。
类似地设(x)[,b)上连续而取ε0如极限 存 则定义； 否则就说广义积分发散。
又设(x)[,b]上除(b)外连续而如两广义积分和都收敛 则定义+ 否则就说广义积分发散。
例题计算广义积分(0) 答因所以x被积函数无穷断是我们有上面所学得公式可得 六、空析几何 空直角坐标系 空直角坐标系 了沟通空图形与数研究我们要建立空与有序数组系我们通引进空直角坐标系实现。
定作三条相垂直数轴它们都以原且般具有相长单位这三条轴分别叫做x轴(横轴）、轴(纵轴)、z轴(竖轴)；统称坐标轴通常把x轴和轴配置水平面上而z轴则是铅垂线；它们正方向要合右手规则即以右手握住z轴当右手四指从正向x轴以π角向正向轴拇指指向就是z轴正向这样三条坐标轴就组成了空直角坐标系叫做坐标原。
（如下图所示） 三条坐标轴任两条可以确定平面这样定出三平面统称坐标面。
取定了空直角坐标系就可以建立起空与有序数组对应关系。
例设空已知我们作三平面分别垂直x轴、轴、z轴它们与x轴、轴、z轴交依次、Q、R这三x轴、轴、z轴坐标依次x、、z是空就唯确定了有序数组x,,z这组数x,,z就叫做坐标并依次称x,和z横坐标纵坐标和竖坐标。
(如下图所示） 坐标x,,z通常记(x,,z) 这样通空直角坐标系我们就建立了空和有序数组x,,z对应关系。
坐标面上和坐标轴上其坐标各有定特征 例如z平面上则x0；样zx面上0；如x轴上则z0；如是原 则xz0等。
空两距离 设(x,,z)、(x,,z)空两了用两坐标表达它们距离我们有公式 例题证明以(,3,),B(7,,),(5,,3)顶三角形△B是等腰三角形 答由两距离公式得 由所以△B是等腰三角形 方向余弦与方向数 析几何除了两距离外还有基问题就是如何确定有向线段或有向直线方向。
方向角与方向余弦 设有空两若以始另终线段称有向线段记作通原作与其平行且向有向线段将与x,,z三坐标轴正向夹角分别记作α,β,γ这三角α,β,γ称有向线段方向角其0≤α≤π,0≤β≤π,0≤γ≤π 关方向角问题 若有向线段方向确定了则其方向角也是唯确定。
方向角余弦称有向线段或相应有向线段方向余弦。
设有空两则其方向余弦可表示 从上面公式我们可以得到方向余弦基关系式 从原出发任单位有向线段方向余弦就是其端坐标。
方向数 方向余弦可以用确定空有向直线方向但是如只要确定条空直线方位(条直线两方向确定着方位)那末就不定要知道方向余弦而只要知道与方向余弦成比例三数就可以了。
这三与方向余弦成比例且不全零数B称空直线方向数记作{B}即 据我们可得到方向余弦与方向数换公式 其根式取正分别得到两组方向余弦它们代表两相反方向。
关方向数问题 空任两坐标差就是结两直线组方向数。
两直线夹角 设L与L是空任两条直线它们可能相交也可能不相交通原作平行与两条直线线段则线段夹角称两直线L与L夹角 若知道L与L方向余弦则有公式 其θ两直线夹角。
若知道L与L方向数则有公式 两直线平行、垂直条件 两直线平行充分必要条件 两直线垂直充分必要条件 平面与空直线 平面及其方程 我们把与平面垂直任直线称平面法线。
设给定(x0,0,z0),给定法线组方向数{,B,}+B+≠0则定且以法线平面方程可表示 种形式方程称平面方程法式。
例题设直线L方向数{38}通(,,)且垂直直线L平面方程 答应用上面公式得所平面方程 即 我们把形式 x+B+z+0 称平面方程般式。
其x,,z系数B是平面法线组方向数。
几种特殊位置平面方程 、通原 其平面方程般形式 x+B+z0 、平行坐标轴 平行x轴平面方程般形式 B+z+0 平行轴平面方程般形式 x+z+0 平行z轴平面方程般形式 x+B+0 3、通坐标轴 通x轴平面方程般形式 B+z0 通轴和z轴平面方程般形式 x+z0x+B0 、垂直坐标轴 垂直x、、z轴平面方程般形式 x+0B+0z+0 直线及其方程 任给定直线都有着确定方位但是,具有某确定方位直线可以有无穷多条,它们相平行如要直线再通某定,则直线便被唯确定因而直线方程就可由通它方向数和定坐标表示出。
设已知直线L方向数{l,,}又知L上(x0,0,z0),则直线L方程可表示 上式就是直线L方程这种方程形式被称直线方程对称式。
直线方程也有般式它是有两平面方程立得到如下 这就是直线方程般式。
平面、直线平行垂直关系 对给定平面它法线也就可以知道了。
因平面平行与垂直关系也就化直线平行与垂直关系。
平面与直线平行与垂直关系也就是平面法线与直线平行与垂直关系。
总说平面、直线垂直与平行关系终都化直线与直线平行与垂直关系。
曲面与空曲线 曲面方程 我们知道平面析几何可把曲线看成是动轨迹因空曲面可看成是动或条动曲线(直线)按定条件或规律运动而产生轨迹。
设曲面上动坐标(x,,z)由这条件或规律就能导出含有变量x,,z方程 如方程当且仅当曲面上才坐标所满足。
那末我们就用这方程表示曲面并称这方程曲面方程把这曲面称方程图形。
空曲线方程 我们知道空直线可看成两平面交线因而它方程可用两相交平面方程立方程组表示这就是直线方程般式。
般地空曲线也可以象空直线那样看成是两曲面交线因而空曲线方程就可由两相交曲面方程立方程组表示。
两类常见曲面 、柱面 设有动直线L沿给定曲线移动移动始终与给定直线平行这样由动直线L所形成曲面称柱面动直线L称柱面母线定曲线称柱面准线。
、旋面 设有条平面曲线绕着平面条直线L旋周这样由旋所形成曲面称旋面曲线称旋面母线直线L称旋面轴。
下面我们再列举出几种常见二次曲面 二次曲面名称 二次曲面方程 椭球面 单叶双曲面 双叶双曲面 椭圆抛物面 双曲抛物面 七、多元函数微分学 多元函数概念 我们前面所学函数变量数都是但是实际问题所涉及函数变量数往往是两或者更多。
例圆柱体体积与两独立变量r,有关。
二元函数定义 设有两独立变量x与其给定变域任取组数值三变量z就以某确定法则有唯确定值与其对应那末变量z称变量x与二元函数。
记作z(x,) 其x与称变量函数z也叫做因变量变量x与变域称函数定义域。
关二元函数定义域问题 我们知道元函数定义域般说是或几区二元函数定义域通常是由平面上条或几段光滑曲线所围成连通部分平面这样部分平面称区域围成区域曲线称区域边界边界上称边界包括边界区域称闭域不包括边界区域称开域。
如区域(开域或闭域)任两距离都不超某常数则称有界区域；否则称无界区域。
常见区域有矩形域和圆形域。
如下图所示 例题定义域 答该函数定义域x≥,≥0 二元函数几何表示 把变量x、及因变量z当作空直角坐标先x平面作出函数z(x,)定义域；再域得任(x,)作垂直x平面有向线段,使其值与(x,)对应函数值z； 当变动对应轨迹就是函数z(x,)几何图形它通常是张曲面 其定义域就是曲面x平面上投影。
二元函数极限及其连续性 元函数我们曾学习当变量趋向有限值函数极限。
对二元函数z(x,)我们样可以学习当变量x与趋向有限值ξ与η函数z变化状态。
平面x上(x,)趋向(ξ,η)方式可以多种多样因二元函数情况要比元函数复杂得多。
如当(x,)以任方式趋向(ξ,η)(x,)总是趋向确定常数 那末就称是二元函数(x,)当(x,)→(ξ,η)极限。
下面我们用εδ语言给出二重极限严格定义 二重极限定义 如定义(ξ,η)某心邻域二元函数(x,)跟确定常数有如下关系对任给定正数ε无论怎样相应必有另正数δ凡是满足 切(x,)都使不等式 成立 那末常数称函数(x,)当(x,)→(ξ,η)二重极限。
正像元函数极限样二重极限也有类似运算法则 二重极限运算法则 如当（x,)→(ξ,η)(x,)→g(x,)→B 那末()(x,)±g(x,)→±B； ()(x,)g(x,)→B； (3)(x,)g(x,)→B；其B≠0 像元函数样我们可以利用二重极限给出二元函数连续定义 二元函数连续性 如当(x,)趋向(x0,0)函数(x,)二重极限等(x,)(x0,0)处函数值(x0,0)那末称函数(x,)(x0,0)处连续如(x,)区域每都连续那末称它区域连续。
如函数z(x,)(x0,0)不满足连续定义那末我们就称(x0,0)是(x,)断。
关二元函数断问题 二元函数断产生与元函数情形类似但是二元函数断情况要比元函数复杂它除了有断还有断线。
然而由变量多了情况就要复杂多x平面当变由(x0,0)沿不方向变化函数(x,)变化快慢般说不因就要研究(x,)(x0,0)处沿不方向变化率。
这里我们只学习(x,)沿着平行x轴和平行轴两特殊方位变动(x,)变化率。
偏导数定义 设有二元函数z(x,)(x0,0)是其定义域把固定0而让xx0有增量△x相应地函数 z(x,)有增量(称对x偏增量) △xz(x0+△x)(x0,0) 如△xz与△x比当△x→0极限 存 那末极限值称函数z(x,)(x0,0)处对x偏导数。
记作＇x(x0,0)或 关对x偏导数问题 函数z(x,)(x0,0)处对x偏导数实际上就是把固定0看成常数元函数z(x,0)x0处导数 样把x固定x0,让有增量△,如极限 存 那末极限称函数z(x,)(x0,0)处对偏导数 记作＇(x0,0)或 偏导数法 当函数z(x,)(x0,0)两偏导数＇x(x0,0)与＇(x0,0)都存 我们称(x,)(x0,0)处可导。
对应域每(x,)必有对x(对)偏导数因而域确定了新二元函数 称(x,)对x(对)偏导函数。
简称偏导数。
例题zx偏导数 答把看作常量对x导数得 把x看作常量对导数得 二元函数偏导数定义和法可以推广到三元和三元以上函数。
把和z看成常量对x导得 把x和z看成常量对导得 把x和看成常量对z导得 高阶偏导数 如二元函数z(x,)偏导数＇x(x,)与＇(x,)仍然可导 那末这两偏导函数偏导数称z(x,)二阶偏导数。
二元函数二阶偏导数有四“xx“x“x“ “x与“x区别前者是先对x偏导然将所得偏导函数再对偏导；者是先对偏导再对x偏导当“x与“x都连续导结导先次序无关。
例题函数二阶偏导数 答 全微分 我们已学习了元函数微分概念了现我们用类似思想方法学习多元函数全增量从而把微分概念推广到多元函数。
全微分定义 函数z(x,)两偏导数＇x(x,),＇(x,)分别与变量增量△x,△乘积和 ＇x(x,)△x+＇(x,)△ 若该表达式与函数全增量△z差 当ρ→0是ρ() 高阶无穷 那末该表达式称函数z(x,)(x,)处(关△x,△)全微分。
记作z＇x(x,)△x+＇(x,)△ 其△z＇x(x,)△x+＇(x,)△+αρ(α是当ρ→0无穷) 函数相应全增量了使△z与偏导数发生关系我们把由(x0,0)变到(x0+△x,0+△)程分两部先由(x0,0)变到(x0,0+△)再变到(x0+△x,0+△)其程如下图所示 例题全微分 答由 所以 关全微分问题 如偏导数＇x(x,),＇(x,)连续那末z(x,)定可微。
多元复合函数导法 元函数我们已知道复合函数导公式导法所起重要作用对多元函数说也是如。
我们先以二元函数例 多元复合函数导公式 链导公式 设(x,)处可导,函数z(,v)对应(,v)处有连续阶偏导数, 那末,复合函数(x,)处可导,且有链导公式 例题函数阶偏导数 答令 由 而 由链导公式可得 其 上述公式可以推广到多元不详述。
全导数 由二元函数z(,v)和两元函数复合起函数是x元函数 这复合函数导数就是元函数导数,称全导数 链导公式 例题设zvxvx 答由全导数链导公式得 将xvx代入上式得 关全导数问题 全导数实际上是元函数导数只是导程是借助偏导数完成而已。
多元函数极值 元函数我们看到利用函数导数可以得函数极值从而可以些、值应用问题。
二元函数极值定义 如(x0,0)某心邻域切(x,)恒有等式 (x,)≤(x0,0) 成立那末就称函数(x,)(x0,0)处取得极值(x0,0)；如恒有等式 (x,)≥(x0,0) 成立那末就称函数(x,)(x0,0)处取得极值(x0,0) 极值与极值统称极值使函数取得极值(x0,0)称极值 二元可导函数(x0,0)取得极值条件是 条件只是取得极值必要条件。
凡是使(x,)称函数(x,)驻可导函数极值必驻但驻却不定是极值。
二元函数极值判定方法 设z(x,)(x0,0)某邻域有连续二阶偏导数如那末函数(x,)(x0,0)取得极值条件如下表所示 △B (x0,0) △＜0 ＜0取极值 ＞0取极值 △＞0 非极值 △0 不定 其 例题极值。
答设,则 方程组得驻(,),(0,0) 对驻(,)有,故 B(3)667＜06＞0 因(,)取得极值(,) 对驻(0,0)有,故 B(3)009＞0 因(0,0)不取得极值 多元函数、值问题 我们已知道元函数极值、极值步骤对多元函数极值、极值也可采用样步骤。
如下 )根据实际问题建立函数关系确定其定义域； b)出驻； )结合实际义判定、值 例题平面3x+z6上使它与坐标原距离短。
答)先建立函数关系,确定定义域 与原距离短问题等价与原距离平方 问题但是位所给平面上,故z3x+6把它代入上式便得到我们所函数关系 ,∞＜x＜+∞,∞＜＜+∞ b)驻 得唯驻x3由所给平面上,故可知 z )结合实际义判定、值 由问题实际义可知原与平面距离值是客观存且这值就是极值而函数 仅有唯驻所以平面上与原距离短(3,,) 从上例我们可以看出上面函数关系也可看成是三元函数 约束条件 3x+z6 下值多元函数或几约束条件下极值称条件极值。
八、多元函数积分学 二重积分概念及性质 前面我们已知道了定积分与曲边梯形面积有关。
下面我们通曲顶柱体体积引出二重积分概念我们不作详述请参考有关籍。
二重积分定义 设z(x,)有界闭区域(σ)上有界函数 ()把区域(σ)任划分成子域(△σk)(k,,3,…,）,其面积记作△σk(k,,3,…,）； ()每子域(△σk)上任取作乘积； (3)把所有这些乘积相加,即作出和数 ()记子域直径如不论子域怎样划分以及怎样选取,上述和数当→＋∞且→0极限存,那末称极限函数(x,)区域(σ)上二重积分记作 即 其x与称积分变量函数(x,)称被积函数,(x,)σ称被积表达式,(σ)称积分区域 关二重积分问题 对二重积分定义,我们并没有(x,)≥0限容易看出,当(x,)≥0,二重积分几何上就是以z(x,)曲顶以(σ)底且母线平行z轴曲顶柱体体积。
上述就是二重积分几何义。
二重积分性质 ()被积函数常数因子可以提到二重积分外面 ()有限函数代数和二重积分等各函数二重积分代数和 (3)如把积分区域(σ)分成两子域(σ)与(σ),即(σ)(σ)+(σ),那末 ()如(σ)上有(x,)≤g(x,),那末 ≤ (5)设(x,)闭域(σ)上连续,则(σ)上至少存(ξ,η),使 其σ是区域(σ)面积 二重积分计算法 直角坐标系计算方法 这里我们采取方法是累次积分法。
也就是先把x看成常量对进行积分然对x进行积分或者是先把看成常量对x进行积分然对进行积分。
我们有积分公式如下 或 这里我们可能会有这问题累次积分上下限是怎么确定呢？ 累次积分上下限确定方法 我们先对区域作些补充说明如区域(σ)任(即不是区域边界上)作平行轴(或x轴)直线,且直线交(σ)边界不超两那末称(σ)沿轴(x轴)方向正规区域如(σ)即是沿轴方向也是沿x轴方向正规区域,那末(σ)就称正规区域下图所示即正规区域 关累次积分上下限取法如下所述 ()如(σ)沿轴方向正规区域那末二重积分可化先对再对x累次积分其对积分下限是(σ)下部边界曲线所对应函数(x)积分上限是上部边界曲线所对应函数(x)对x积分下限与上限分别是(σ)左与右横坐标与b ()如(σ)沿x轴方向正规区域,那末二重积分可化先对x再对累次积分其对x积分下限是(σ)左部边界曲线所对应函数x()积分上限是右部边界曲线所对应函数x()对积分下限与上限分别是(σ)低与高横坐标与 (3)如(σ)正规区域那末累次积分可以交换积分次序。
()如(σ)既不是沿轴方向正规区域,也不是沿x轴方向正规区域,那末总可以把它化分成几块沿轴方向正规区域或沿x轴方向正规区域,然根据积分性质即可积分 例题二重积分其(σ)是由所围成区域。
这里我们采用前者 先对对x积分 极坐标系计算法 如二重积分被积函数和积分区域(σ)边界方程由极坐标形式给出,那末我们如何计算呢?下面我们给出极坐标系二重积分计算公式 如极(σ)外部,区域(σ)用不等式表示R(θ)≤ρ≤R(θ),α≤θ≤β,则积分公式如下 如极(σ)部,区域(σ)边界方程ρR(θ),0≤θ≤π,则积分公式如下 如极(σ)边界上,边界方程ρR(θ),θ≤θ≤θ,则积分公式如下 有了上面这些公式些直角坐标系不易积出而极坐标系易积出函数我们就可以把它化极坐标系积分即可反依然。
直角坐标与极坐标换公式 例题其(σ)是圆环≤x+≤b 答由积分域由心圆围成以及被积函数形式显然这二重积分化极坐标计算比较方便。
把σρρθ代入即可化极坐标系积分形式。
如下 对其进行累次积分计算 三重积分及其计算法 二重积分被积函数是二元函数它积分域是—平面区域如考虑三元函数(x,,z)空区域(V)上积分就可得到三重积分概念。
三重积分概念 设函数(x,,z)空有界闭区域(V)任划分成子域(△V),(△V),(△V3),…,(△V),它们体积分别记作△Vk(k,,…,)每子域上任取并作和数 如不论△Vk怎样划分怎样选取当→+∞而且子域直径δ→0这和数极限都存那末极限就称函数域(V)上三重积分,记作 即 如(x,,z)域(V)上连续那末三重积分定存。
对三重积分没有直观几何义但它却有着各种不物理义。
直角坐标系三重积分计算方法 这里我们直接给出三重积分计算公式具体它是怎样得请参照有关籍。
直角坐标系三重积分计算公式 公式是把三重积分化定积分与二重积分问题根据我们前面所学结论即可出。
例题其(V)是由平面x0,0,z0及x++z所围成区域 答把化先对z积分再对和x积分累次积分那末应把(V)投影到x平面上,出投影域(σ),它就是 平面x++z与x平面交线和x轴、轴所围成三角区域 我们了确定出对z积分限,(σ)固定(x,),通作条平行z直线,它与(V)上下边界交 竖坐标z0与zx这就是对z积分下限与上限是由积分公式得 其(σ)平面区域x≥0≥0x+≤如下图红色阴影部分所示 再把(σ)域上二重积分化成先对对x累次积分得 柱面坐标系三重积分计算法 我们先学习下空用极坐标表示方法。
平面上可以用极坐标(ρ,θ)确定,因空可用数组(ρ,θ,z)表示显然空与数组(ρ,θ,z)对应关系是对应关系,数组(ρ,θ,z)称空柱面坐标它与直角坐标关系 构成柱面坐标系三族坐标面分别 ρ常数以z轴对称轴轴圆柱面族 θ常数通z轴半平面族 z 常数与z轴垂直平面族 因每三这样坐标面确定着空唯由利用了圆柱面所以称柱面坐标。
九、常微分方程 微分方程基概念 许多科技领域里常会遇到这样问题 某函数是怎样并不知道但根据科技领域普遍规律却可以知道这知函数及其导数与变量会满足某种关系。
下面我们先看例子 例题已知条曲线(,)且该直线上任(x,)处切线斜率x这条曲线方程 答设所曲线方程(x)我们根据导数几何义可知(x)应满足方程 我们发现这方程含有知函数导数。
这里我们先不。
微分方程概念 我们把含有知函数导数（或微分）方程称微分方程。
当然阶数越高微分方程越麻烦。
满足微分方程函数（它要某区上连续）称微分方程微分方程般形式称微分方程般 满足微分方程有特殊要称微分方程特这种特通常是满足定附加条件。
通常微分方程般里含有些任常数其数与微分方程阶数相因用确定任常数以从般得出特附加条件数也与微分方程阶数相 可分离变量微分方程与齐次方程 下面我们学习用积分法阶微分方程问题。
并不是所有阶微分方程都可以用积分法只有些特殊形式阶微分方程可以用积分法并且法也各不相。
可分离变量微分方程 这种方程形式 我们往往会以将上式两端积分即可。
其实是不对。
因两端积分得右端是什么也不出所以不出。
其正确法设(x)所是当(x)有 即 这步把函数及与x函数及x分开了称分离变量这是关键步下步我们就可由不定积分换元法进行了。
答这是可分离变量方程分离变量得 两端分别积分得 令得 这就是该方程通。
其步骤 令则微分方程就化成了微分方程 即 这就化成了可分离变量微分方程再由上面我们所学方法就可出方程通。
答这是齐次方程。
令x代入得 分离变量得 两端分别积分得 或 其 代回x得原方程通 将初始条件(0)代入得 所以满足初始条件特 线性微分方程 线性微分方程 这种微分方程形式其,q与,＇无关但可以与x有关它对与＇而言是次故被称阶线性微分方程。
齐次线性微分方程法 齐次线性微分方程形式 方程是可分离变量微分方程分离变量得这就可以由我们前面所学方法进行。
例题般。
答由方程可得故 因该方程般 非齐次线性微分方程法 非齐次线性微分方程形式 这种方程法先出其对应齐次线性微分方程般然把看作x函数再代到非齐次线性微分方程定使它能满足非齐次微分方程。
把作x函数导数比作常数导数要多处项所以作x函数代入微分方程就得到 所以只要即就可使非齐次线性微分方程得到满足即所般。
上面我们说学这种法被称Lgrg常数变易法。
例题 答相应齐次线性微分方程般 把看成x函数代入得 因＇x(x+) ∴ 故就是非齐次线性微分方程般。
右端仅含x方程“(x) 对这类方程只须两端分别积分次就可化阶方程 再次积分即可出方程得通。
答次积分得 二次积分即得到方程得通 右端不显含方程“(x,＇) 我们了把方程降阶可令＇将看作是新知函数x仍是变量是代入原方程得 这就是阶方程然即可由我们前面学方法进行了。
答令＇代入方程得 分离变量得 积分得 即 再积分即得原方程通 3右端不显含x方程“(,＇) 我们了把方程降阶可令＇将看作是变量函数有 代入原方程得 这是关阶方程我们可由出通然再代入原方程即可。
例题方程通 答令代入原方程得 它相当两方程 由方程得; 二方程可用分离变量法得 从而 由再分离变量得 这就是原方程通（包含这） 线性微分方程结构 我们以二阶方程例说明线性方程结构当然这些结论也适合高阶线性微分方程。
线性齐次方程结构 二阶线性齐次方程形式 定理如函数是方程那末也是该方程其,任常数。
线性齐次方程这性质又称叠和性。
问题我们所得是不是方程通呢？ 般说这是不定那么什么情况下它才是方程通呢？我们由引出了两概念线性相关与线性独立。
定义设是定义区两函数如那末称两函数区线性相关否则即比不恒等常数那末称两函数线性独立或线性无关。
定理如是二阶线线性齐次方程任两线性独立特那末就是该方程通其,任常数。
线性非齐次方程结构 二阶线性非齐次方程形式 对阶线性非齐次方程我们知道线性非齐次方程通等它特与对应齐次方程通和。
那末这结论对高阶线性非齐次方程适合吗？ 答案是肯定。
我们有下面定理。
定理设是二阶线性非齐次方程任特是与该方程对应齐次线性方程通那末 + 就是方程通。
我们了以题方便又给出了定理如下 定理设有线性非齐次方程如分别是方程 与方程 那末就是原方程。
二阶常系数齐次线性方程法 前面我们已知道了无论是线性齐次方程和非齐次方程它们通结构虽然知道但通寻却是建立已知特基础上。
但是即使对二阶线性齐次方程特寻也没有般方法。
但是对常系数二阶线性齐次方程它通可按定方法很容易。
我们可令代入上面方程得 因x≠0所以 这样对上面二次方程每根ρx就是方程。
根据这代数方程根不性质我们分三种不情况讨论 特征方程有两不等实根情形 设两实根。
是是齐次方程两特由它们比不等常数所以它们线性独立因方程通 其实常数。
特征方程有重根情形 特征方程重根应是只能得到特我们可根据常数变易法再其另特是方程通 3特征方程有共轭复根情形 设共轭复根那末是方程两线性独立但是这种复数形式使用不方便了得到实数形式利用欧拉公式可以得到方程通 由上面可知二阶常系数线性齐次方程通步骤 对照方程写出其特征方程； 出特征方程两根ρρ 3根据ρρ是不实根相实根共轭复根分别利用上面公式写出原方程通。
例题方程通 答方程特征方程 它有两不相实根因所通 二阶常系数非齐次线性方程法 我们学习二阶常系数线性非齐次方程方法由前面我们知道线性非齐次方程通等它任特与对应齐次方程通和。
二阶常系数非齐次线性方程法 常系数二阶线性非齐次方程般形式 下面我们根据(x)具有下列特殊情形给出其特公式 （）设其μ常数 若零次多项式 )当μ不是特征方程根可设 b)当μ是特征方程单根可设 )当μ是特征方程重根可设 若次多项式即μ0 )当≠0即μ0不是特征方程根可设 b)当0≠0即μ0是特征方程单根可设 )当00即μ0是特征方程重根可设 例题方程特 答对应特征方程 原方程右端不出现但可以把它看作是即μ0 因μ0不是特征方程根所以设特 代入原方程得 是 故所特 （）设或其,μ,v常数。
特 例题方程特 答显然可设特 代入原方程得 由得 从而原方程特是 十、无穷级数 级数概念及其性质 我们学里已遇到级数——等差数列与等比数列它们都属项数有限特殊情形。
无穷级数概念 设已给数列,,…,,…把数列各项依次用加连接起式子++…++…称无穷级数简称级数记作或即++…++…数列各项,,…称级数项称级数通项 取级数前项两项…项…相加得数列+…++…+… 这数列通项++…+称级数前项部分和该数列称级数部分和数列。
例题证明级数和是 证明 当→∞→所以级数和是 级数性质 级数收敛必要条件收敛级数通项当→∞趋零即 条件只是级数收敛必要条件而不是充分条件。
如级数收敛而它和是那末每项乘上常数所得到级数也是收敛而且它和是如发散那末当≠0也发散。
任何收敛级数不改变连起有限项次序而插入括所得新级数仍收敛其和不变。
无限项所谓和是种极限与有限项和质上是有区别。
正项级数收敛问题 对级数我们般会提出这样两问题它是不是收敛？它和是多少？显然问题是更重要因如级数是发散那末二问题就不存了。
判定正项级数敛散性基定理 定理正项级数收敛充分与必要条件是部分和上有界如上无界级数发散正无穷。
我们不作证明。
正项级数审敛准则 准则设有两正项级数及而且≤b(,,…）如收敛那末也收敛；如发散那末也发散 例如级数是收敛因当有≤而等比级数是收敛 准则二设有两正项级数与如那末这两级数或者收敛或者发散。
关准则补充问题 如那末当收敛也收敛；如那末当发散也发散 例如是收敛因而是收敛 以上这两准则判定已知级数敛散性都要另选收敛或发散级数以比较下面我们学习两只依赖已知级数身审敛准则 准则三设有正项级数如极限存那末当λ＜级数收敛λ＞级数收敛 准则就是达朗贝尔准则这种判定方法称检比法 例如级数是收敛因当→∞ 准则四(柯西准则)如极限存那末当λ＜级数收敛λ＞级数发散 例如级数是发散因当→∞ 般常数项级数审敛准则 当级数正数项与数项无穷多就称级数般常数项级数 绝对收敛与条件收敛 设有般常数项级数 取各项绝对值所构成级数 称对应原级数绝对值级数 绝对收敛准则如对应绝对值级数收敛那末原级数也收敛 称绝对收敛 如级数发散而级数收敛 则称条件收敛。
关绝对收敛与条件收敛问题 绝对收敛级数正数项与数项所组成级数都是收敛； 条件收敛级数正数项与数项所组成级数都是发散。
例题证明当λ级数绝对收敛级数 证明因≤而当λ收敛故级数收敛从而级数绝对收敛 交错级数与它审敛准则 交错级数就是任相邻两项都是相反数它是般常数项级数种特殊级数 交错级数可以写成 交错级数审敛准则(莱布尼兹准则) 如且那末级数收敛 例如交错级数是收敛因它满足莱布尼兹准则两条件及 函数项级数、幂级数 然科学与工程技术运用级数这工具常用到不是常数项级数而是函数项级数而常数项级数是研究函数项级数基础。
函数项级数概念 设有函数序列其每函数都区上有定义那末表达式称定义上函数项级数。
下面我们学习常见而应用广泛种具有如下形式函数项级数 它们各项都是正整数幂幂函数这种级数称幂级数其(0,,,…)常数 显然当上面级数变量x取定了某值x0它就变常数项级数。
(x)极限是定义区函数记作(x) 这函数(x)称级数和函数简称和记作 对幂级数我们关心问题仍是它收敛与发散判定问题下面我们学习关幂级数收敛判定准则。
幂级数审敛准则 准则设有幂级数如极限那末当幂级数收敛而且绝对收敛；当幂级数发散其R可以是零也可以是+∞ 由上面准则我们可知幂级数收敛区是关原对称区这区级数收敛这区外级数发散区称幂级数收敛区简称敛区。
正数R幂级数收敛半径 关审敛准则问题 讨论幂级数收敛问题主要收敛半径寻。
当级数敛散性不能由准则判定另行讨论。
例题幂级数收敛区 答该级数收敛半径 所以幂级数敛区是（55） x5与x5级数分别前者发散者收敛 故级数收敛区是[5,5) 幂级数性质 性质设有两幂级数与如 (x)RxR (x)RxR 则(x)±(x)RxR 其R(R,R) 性质幂级数和(x)敛区连续 性质3幂级数和(x)敛区任可导且有逐项导公式 导幂级数与原级数有相收敛半径。
性质幂级数和(x)敛区可以积分并且有逐项积分公式 积分所得幂级数与原级数有相收敛半径。
由以上这些性质可知幂级数其敛区就像普通多项式样,可以相加,相减,可以逐项导,逐项积分。
函数幂级数展开式 通前面学习我们看到幂级数不仅形式简单而且有些与多项式类似性质。
我们有了下面两问题 问题函数(x)什么条件下可以表示成幂级数； 问题如(x)能表示成如上形式幂级数那末系数(0,,,3,…)怎样确定？ 下面我们就学习这两问题。
泰勒级数 我们先讨论二问题假定(x)邻区能表示成这种形式幂级数其是事先给定某常数我们看看系数与(x)应有怎样关系。
由(x)可以表示成幂级数我们可根据幂级数性质x邻区(x)可任阶可导对其幂级数两端逐次导。
得 ……………………………………………… ……………………………………………… (x)幂级数式及其各阶导数令x分别得 把这些所系数代入得 该式右端幂级数称(x)x+处泰勒级数 关泰勒级数问题 上式是(x)可以展成形如幂级数假定下得出实际上只要(x)x处任阶可导我们就可以写出函数泰勒级数。
问题函数写成泰勒级数是否收敛？是否收敛(x)？ 函数写成泰勒级数是否收敛将取(x)与它泰勒级数部分和差 是否随→＋∞而趋向零如某区有那末(x)x处泰勒级数将区收敛(x)。
我们把这泰勒级数称函数(x)区泰勒展开式 泰勒定理 设函数(x)x邻区+阶可导则对位邻区任x至少存,与x使得 公式也被称泰勒公式。
(不加以证明） 泰勒公式取0泰勒公式变成 其0与x 式子被称麦克劳林公式。
函数(x)x0泰勒级数称麦克劳林级数当麦克劳林公式余项趋零我们称相应泰勒展开式麦克劳林展开式 即 几种初等函数麦克劳林展开式 指数函数x 正弦函数展开式 3函数(+x)展开式 考研数学极限计算答题技巧 极限是考研数学每年必考容客观题和主观题都有可能会涉及到平每年直接考所占分值0分左右而事实上由这部分容基础性每年接考或与其他节结合出题比重也很。
极限计算是核心考考题所占比重。
熟练掌握极限方法是得高分关键。
常见题型 极限无外乎出这三题型数列极限、函数极限、已知极限待定参数。
熟练掌握极限方法是高分地关键极限运算法则必须遵从两极限都存才可以进行极限运算如有不存就无法进行运算。
常用计算方法 极限计算常用方法四则运算、洛必达法则、等价无穷代换、两重要极限、利用泰勒公式极限、夹逼定理、利用定积分极限、单调有界收敛定理、利用连续性极限等方法。
四则运算、洛必达法则、等价无穷代换、两重要极限是常用方法基础阶段学习是重考生应该已非常熟悉进入强化复习阶段这些容还应继续练习达到熟练程；强化复习阶段考生会遇到些较复杂极限计算运用泰勒公式代替洛必达法则极限会简化计算熟记些常见麦克劳林公式往往可以达到事半功倍效；夹逼定理、利用定积分定义常常用计算某些和式极限如分母和分母相除极限等则使用夹逼定理进行计算如分母和分母相除极限不等则凑成定积分定义形式进行计算；单调有界收敛定理可用证明数列极限存并递归数列极限。
与极限计算相关知识 、连续、断以及断分类判断断类型基础是函数断处左右极限； 、渐近线(垂直、水平或斜渐近线)； 3、多元函数积分学二重极限讨论计算难较常考证明极限不存。
、抽象数列极限 这类题般以选择题形式出现因可以通举反例排除。
外也可以按照定义、基性质及运算法则直接验证。
、具体数列极限可以参考以下几种方法 利用单调有界必收敛准则数列极限 首先用数学归纳法或不等式放缩法判断数列单调性和有界性进而确定极限存性；其次通递推关系取极限方程从而得到数列极限值。
b利用函数极限数列极限 如数列极限能看成某函数极限特例形如则利用函数极限和数列极限关系化函数极限再用洛必达法则。
3、项和或项积数列极限主要有以下几种方法 利用特殊级数和法 如所项和式极限通项可以通错位相消或可以化极限已知些形式那么通整理可以直接得出极限结。
b利用幂级数和法 若可以到这级数所对应幂级数则可以利用幂级数函数方法把它所对应和函数出再根据这极限形式代入相应变量出函数值。
利用定积分定义极限 若数列每项都可以提出因子剩余项可用通项表示则可以考虑用定积分定义数列极限。
利用夹逼定理极限 若数列每项都可以提出因子剩余项不能用通项表示但是其余项是按递增或递减排列则可以考虑用夹逼定理。
项数列积极限 般先取对数化项和形式然利用项和数列极限方法进行计算。