探究二次函数在高中时的应用:二次函数的应用

初教材对二次函数作了较详细研究由初学生基础薄弱又受其接受能力限制这部份容学习多是机械很难从质上加以理。

进入高以尤其是高三复习阶段要对他们基概念和基性质(图像以及单调性、奇偶性、有界性)灵活应用对二次函数还再深入学习。

、进步深入理函数概念。

初阶段已讲述了函数定义进入高学习集合基础上又学习了映射接着重新学习函数概念主要是用映射观阐明函数这就可以用学生已有定了函数特别是二次函数例加以更深认识函数概念。

二次函数是从集合(定义域)到集合B(值域)上映射B使得集合B元素x+bx+(0)与集合元素X对应记(x) x+ bx+(0)这里x+bx+表示对应法则又表示定义域元素X值域象从而使学生对函数概念有较明确认识学生掌握函数值记可以让学生进步处理如下问题。

类型已知(x) x+x+(x+)。

这里不能把(x+)理xx+函数值只能理变量x+函数值。

类型Ⅱ设(x+)xx+,(x)。

这问题理已知对应法则下定义域元素x+象是xx+定义域元素X象其质是对应法则。

般有两种方法。

()把所给表达式表示成x+多项式。

(x+)xx+(x+)6(x+)+6再用x代x+得(x)x6x+6。

() 变量代换它适应性强对般函数都可适用。

令x+则x ()()()+6+6从而(x) x6x+6。

二、二次函数知识可以准确反映学生数学思维。

类型Ⅴ设二次函数(x)x+bx+(0)方程(x)x0两根xx满足0xx。

(Ⅰ)当X(0,x)证明X(x)x。

(Ⅱ)设函数(x)图像关直线xx0对称证明x0 x。

题思路。

题要证明是x(x)(x)x和x0 x 由题所提供信息可以想到①(x)x说明抛物线与直线x象限有两不交;②方程(x)x0可变x+(b)x+0它两根x,x可得到x,x与b关系式因题思路明显有三条①图像法②利用元二次方程根与系数关系③利用元二次方程根公式辅以不等式推导。

现以思路②例这道题。

(Ⅰ)先证明x(x)令(x)(x)x因x,x是方程(x)x0根(x)x+bx+所以能(x)(xx)(xx)。

因0xx,所以,当x(0,x), xx0, xx0得(xx)(xx)0,又0,因(x) 0,即(x)x0至,证得x(x)。

根据韦达定理,有 xx ∵ 0。

即x(x)x。

(Ⅱ) ∵(x)x+bx+(x+b)+(),(0)。

函数(x)图像对称轴直线x b,且是唯条对称轴因依题得x0b因x,x是二次方程x+(b)x+0根根据违达定理得x+xb∵x0。

x0b(x+x)x,即x0x。

三、二次函数单调性值与图像。

高阶阶段学习单调性必须让学生对二次函数x+bx+区(b]及[b+) 上单调性结论用定义进行严格论证使它建立严密理论基础上与进步充分利用函数图像直观性给学生配以适当练习使学生逐步觉地利用图像学习二次函数有关些函数单调性。

类型Ⅲ画出下列函数图像并通图像研究其单调性。

()x+|x|。

()|x|。

(3) x+|x|。

这里要使学生这些函数与二次函数差异和系。

掌握把含有绝对值记函数用分段函数表示然画出其图像。

类型Ⅳ设(x)xx区[,+]上值是g()。

g()并画出 g()图像。

(x)xx(x)x取值。

当[,+]即0g()。

当g()()。

当0g()(+)。

, (0)。

g() (0)。

, ()。

首先要使学生弄清楚题般地二次函数实数集合R上或是只有值或是只有值但当定义域发生变化取或值情况也随变化了巩固和熟悉这方面知识可以再给学生补充些练习。

如3x5x+6(3x)该函数值域。

二次函数它有丰富涵和外延。

作基幂函数可以以它代表研究函数性质可以建立起函数、方程、不等式系可以偏拟出层出不穷、灵活多变数学问题考学生数学基础知识和综合数学素质特别是能从答深入程区分出学生运用数学知识和思想方法数学问题能力。

二次函数容涉及很广只讨论至希望各位仁高数学教学也多关这方面知识使我们对它研究更深入。