灰色预测建模方法及在医学中的应用
从理论上说，科学研究的任何对象都可以被看作是特殊的系统［1］。对于医学科学来说，人体是一个复杂的系统。人体感染疾病可看成是多个系统的共同作用的结果。在任何一个系统中都有已知的信息和未知的信息，信息完全明确的为白色系统，信息完全不明确的为黑色系统，信息部分明确、部分不明确的为灰色系统。对任何一个系统或子系统建立数学模型进行预测时，人们总力图使那些信息不完全明确的即灰信息由“灰”变“白”，进行转化，从而使预测达到一定的精度。灰色系统理论（Grey System Theory）的建模法就是运用一定的数学方法使信息不完全明确的系统经数据处理后能得到较明确的，符合实际情况的结果的一种新兴数学预测系统，由邓聚龙教授上世纪80年代创立。该系统已在社会、经济、农业、生态、气象、环境、政法、管理等部门得以较为广泛的应用。上世纪90年代以来，灰色预测理论在医学中的应用渐行增多，主要是在疾病发病率和流行病灾变发生时间预测的应用。曾有研究者运用灰色系统的GM预测方法对海南省二十一个地区疟疾发病率建立了93个模型，其平均建模精度达96％以上。
灰色数列预测模型是以灰色系统概念为核心，通过将无规律的原始数据生成、建模、拟合后，进而推测未来的一种新兴数学预测模型系统。最常用的模型是含一个变量的一阶微分方程，称之为GM(1．1)模型。
111 一次累加生成 设原始数列X(t)=|x(1),x(2),…,x(n)|，对其进行一次累加生成，以弱化其随机性，强化其规律性，得累加生成列Y(t)：Y(t)=∑t i=1x(i) t=1,2,…,n(1)。
112 均值生成 对累加数据列按公式（2）作均值生成，得均值数据列Z(t)：Z(t)=1 2［Y(t)+Y(t—1)］ t=2,3,…,n(2)。
113 建立GM（1.1）模型 建立关于Y(t)的一阶线性微分方程：dY(t) dt+aY(t)=u(3)此式即为GM（1.1）预测模型，解该变量分离型微分方程得其特解为：Y(t)=x(1)—a ue—a(t—1)+a u(4)式中a,u为待定系数，根据最小二乘法估计参数向量，并由矩阵计算得其表达式为：a=1 D(n—1)—∑n t=2X(t)Z(t)+∑n t=2Z(t) ∑n t=2X(t)(5)u=1 D∑n t=2Z(t)—∑n t=2X(t)Z(t)+∑n t=2X(t)∑n t=2Z2(t)(6)其中，D=(n—1)∑n t=2Z2(t)—∑n t=2Z(t)2(7)。
12 由式（4）所得估计值(t)数列作累减还原生成，得原始数列X(t)的估计值(t)数列：(t)=(t)—(t—1)(8)。
13 对数列(t)与X(t)进行拟合效果检验（可靠性检验）若两者拟合精度好，则模型可用于外推预测；若两者拟合精度不合格，则不可直接用于外推预测，须经残差修正后，再进行外推预测。确定灰色数列模型的可靠性可用平均相对误差、后验差比值和小误差概率来检验。平均相对误差：=∑|(t)—X(t) ∑X(t)×100%(9)令残差ε(t)=X(t)—(t) t=2,3,…,n（10）计算后验差比值C和小误差概率P：C=S2 S1(11)P=P|ε(t)—(t)|0.6745S1(12)式中,S21=1 n∑n t=1X(t)—(t)2(13)S22=1 n∑n t=1ε(t)—(14)根据精度检验等级参照表判断灰色数列的拟合优度。
14 外推预测如果拟合优度高，即模型预测效果满意，可按下式进行外推预测：(t)=(t)—(t—1) t=n+1,n+2,…(15)。
状况准确的疾病预测为制定疾病防治对策提供可靠依据，故对疾病的人群防治有重要的指导价值。灰色预测在医学研究中的应用主要是疾病发病率或死亡率的预测和流行性疾病灾变时间的预测。
21 对疾病发病率或死亡率的预测上世纪80年代末期就有医学者对灰色理论进行了介绍，且认为可以运用于医学研究中。90年代始有学者运用灰色理论中的灰色预测方法来预测疾病在将来的某一时刻或某几个时刻的发病率或死亡率，经与实测值或与其它预测方法对比，认为灰色预测是一种准确而简便的预测方法，有良好的临床预测效果。陈雅卿［2］搜集了1983~1987年鞍钢职工恶性肿瘤的死亡率，根据1983~1985年的数据建立GM(1，1)灰色预测模型。经过计算后验差比值，证明该模型的预测精度等级为一级。其预测1986年和1987年的死亡率与实际发生率比较，发现两者差别不大，从而认为其预测结果有较高信度。预测结果显示：按当时的发展趋势，若疾病各影响因素不发生改变，鞍钢职工恶性肿瘤死亡率将呈逐年上升趋势。陈文江［3］根据琼海县1985~***年疟疾发病率建立灰色预测模型。经卡方检验，显示估计值和实际值较好的吻合性，从而认为该模型作为疟疾发病情况预测可行。刘振彬［4］运用灰色系统模型拟合1979~1988年广州肺癌死亡率，建立预测模型。根据预测结果，作者认为如果肺癌的流行因素如吸烟状况、大气污染等得不到控制，估计到世纪末肺癌的死亡率将达60／10万以上，成为重要的死因，应引起高度的重视。陈向春［5］预测1990~1991年云南省传染病发病率，显示呈逐年下降趋势。张群朝［6］预测了沈阳市1990~1994年尘肺的发病率，认为该市近几年尘肺病发病率可能有所上升。覃青［7］以1950年~1990年百色市疟疾流行资料为研究对象，建立上包络曲线方程和下包络曲线方程对未来疟疾发病率预测,结果显示1991年发病率将继续下降，至1992年发病率可望控制在十万分之一以下。刘新国［8］亦用灰色预测法预测了徐州市伤寒发病趋势。吴彬［9］则认为在对肿瘤死亡率的影响因素还未完全明确的情况下，灰色预测模型是一种较为理想的预测方法，对掌握肿瘤死亡率的发展趋势、制订防治对策有着积极意义。路德泽［10］对1995年的发病率进行了预测。龚向东等［11］根据 1989~1996年间全国性病发病率建模预测，结果显示1997~2000年我国性病发病率呈现继续上升的趋势，以梅毒上升最为明显。顾伟玲［12］则对1996年嘉兴市病毒件肝炎发病率进行了预测。段琼虹等［13］根据武汉市城区居民1990~1997年前列腺癌死亡资料，建立残差GM(1．1)模型，预测l998~2000年该市居民前列腺癌死亡率水平,认为在今后几年内，武汉市居民前列腺癌的死亡率呈缓慢上升趋势。张秀荣等［14］分别用分级法和每年发生CO中毒的具体人数编制模型公式，综合起来分析以预测1999年CO中毒发生趋势,预测结果显示CO中毒发展趋势向严重方向发展。王家祥［15］用1991~1999年某市淋病发病率建立预测模型，预测2000年淋病发病率。为避免偶然性，其分别以1991~1996、1991~1997、1991~1998年发病率建立预测模型进行复测。从拟合及复测结果看，误差（0.02%~1.83%）均很小，说明模型预测精度高，预测结果显示该市淋病发病率呈单调上升趋势。张世勇［16］用灰色模型对石家庄市1994~2000年流行性出血热(EHF)发病率做了预测分析，并对2001与2002年EHF的发病状况进行了外推预测,认为EHF发病率呈上升趋势。邵珠艳［17］应用灰色预测模型对某市1991~1998年糖尿病死亡率建模拟合并作外推预测,结果表明糖尿病的死亡率呈明显上升趋势。有关部门应重视糖尿病的防治工作，投入必要的人员和经费，加强糖尿病的防治研究；同时，应研究适合我国国情的糖尿病社区综合防治策略，对不同地区、不同人群提出切合实际的防治方案，以期遏止糖尿病的发病率和死亡率的上升趋势。赖永珲［18］根据深圳市1992~2002年HIV／艾滋病资料，用灰色系统GM(1，1)模型预测该市2003~2004年HIV／艾滋病流行趋势,结果显示，2003~2004年深圳市HIV艾滋病将大幅增加。余陈斌［19］应用动态数列外推法和灰色预测法，预测矽肺的发展趋势，并对两种预测方法进行评价，结果显示矽肺在未来10年中呈缓慢上升趋势，且灰色预测法比动态数列外推法预测精确。