次黎曼测地线概述
摘要：本文主要介绍次黎曼测地线的理论背景，发展历史及研究现状。
下载论文网 关键词：次黎曼流形 水平分布 正规测地线 奇异测地线． 次黎曼测地线问题是次黎曼几何中的一个基本问题．给定n维光滑流形，上的次黎曼结构由（D，g）给出，其中D=Uq∈M，Dq TqM，dimDq=k，k≥1是正整数，D是切丛TM的一个线性子切丛，称为水平分布，g是定义在上的正定度量，我们把具有次黎曼结构（D，g）的光滑流形M称为次黎曼流形，记为（M，D，g）。
对次黎曼几何的研究，主要来源之一是控制论，次黎曼几何是对控制论中有约束的控制系统进行研究的理想框架，被用来研究力学中的非完整系统．平面上古典的等周问题也可看作是次黎曼几何问题．在所有连接次黎曼流形上两点的水平曲线中，寻找局部长度极小的水平曲线问题习惯上称为次黎曼测地线问题，它是变分学中有约束的Lagrange问题，也是一个最优控制问题． 在黎曼几何里，所有测地线都是正规的，在次黎曼几何中，可出现奇异测地线．奇异测地线是次黎曼几何所特有的曲线．所有黎曼测地线都可以由微分方程的解得到，因而都是正规的；然而并非所有次黎曼测地线都是正规的，即还存在不同于正规测地线的一类水平曲线即奇异测地线，它是极小测地线，但不是次黎曼测地线方程解的投影． 1991年Montgomery第一次证明了奇异测地线的存在性，在次黎曼流形（R3，D，g）上，其中 ，dimD=2，Montgomery发现超曲面（y=0）上的水平曲线是奇异测地线．因此奇异测地线的存在与否也是黎曼几何和次黎曼几何的本质区别之一． 测地线问题是次黎曼几何所要研究的一个主要问题，因而测地线的存在性是次黎曼几何中的一个基本而又重要的问题．任给次黎曼流形上两点是否存在次黎曼测地线连接它们?更一般的，次黎曼流形上任意两点之间是否存在一条水平曲线连接?第二个问题是在次黎曼流形上寻找测地线的一个必不可少的前提，在20世纪30年代由Chow解决．对于次黎曼流形（M，D，g），若是连通的，水平分布D由括号生成，即对M中任意水平向量Xi，i=1，2，L，k,有 ，则M上任两点都可由一条水平曲线连接，此时M中任意充分靠近的两点都可由一条极小测地线连接．进一步水平分布D由强括号生成，且次黎曼流形M关于次黎曼度量是完备的，则M上任意两点都可由一条极小测地线连接． 在测地线存在的前提下，进一步可讨论测地线是正规还是奇异测地线．文献[2],[3]等对次黎曼测地线的结构做了较为系统地讨论，从是否满足次黎曼Hamilton形式所对应的Hamilton方程分为正规测地线和奇异测地线，从端点映射的微分在极小测地线处是否为满射分为正则极小测地线与奇异极小测地线．Nikitin在1996年从最优控制论的角度出发，利用变分法得到次黎曼流形只存在正规测地线的充分条件． 为清楚地刻划次黎曼测地线的特征，Piccione与 Tausk在1999年给出两端点固定时正规测地线的特征，同时得到两端点分别在两光滑子流形上自由移动时正规测地线的特征．一般情况下，容许空间 不具有光滑流形结构，但在正则曲线的邻域内，具有无限维Hilbert流形结构，因而正则曲线是次黎曼能量泛函E在容许空间 内的临界点，当且仅当它是连接 两点的正规测地线．如果端点流形P或Q横切于分布D，即 ,对所有的p∈P,则容许空间 不含有奇点，它是无穷维的光滑Hilbert流形，此时所有的次黎曼测地线都是正规的，且次黎曼能量泛函E在此容许空间内的临界点恰好是P，Q之间的正规测地线，并且满足边界条件： ,其中T为y的提升． 在一定的条件下,正规测地线可由次黎曼能量泛函E在相应容许空间内的临界点来刻划，那么E的临界点的存在性与多重性就可以反映正规测地线的存在性与多解性．进一步Piccione与 Tausk利用Morse指标理论，于2000年得到了终点q固定，起点在的一个光滑子流形上自由移动的正规测地线（称之为P—正规测地线）的存在性与多解性．Kishinoto在1998年指出，如果水平分布D满足强括号生成条件，则每条次黎曼测地线都是正规的．然而，Piccione等人并没有假设水平分布满足这一强不可积条件，而是要求子流形p横切于分布D，从而排除了奇异测地线的存在．进一步如果光滑子流形p的维数是1，此时p就是一条光滑曲线 ，利用临界点的经典理论以及不同于Morse理论的L—S畴数理论，还可得到在点q与曲线y之间至少有 条正规测地线；并且如果 ，则存在正规测地线序列〔xn〕，使得 [3]。
文献[2]给出奇异测地线存在的一个必要条件即如果水平曲线 是奇异测地线，则它一定是奇异曲线，且为奇异极小．同时给出奇异曲线存在的充要条件即水平曲线是奇异曲线当且仅当存在非正规极值曲线： ,使得y是 在M上的投影。
次黎曼测地线问题的核心问题是测地线的存在性，多解性和光滑性．在一般的次黎曼流形上，我们可知道极小测地线是否存在，但它是正规的，或正则的，还是奇异的，我们并不知道．对于奇异测地线的存在性，多解性和光滑性等问题还远没有解决，这些都是目前次黎曼测地线的研究与发展趋势． 参考文献： [1]R.Montgomery,A Tour of sub—Riemannian Geometries,Their Geodesics and Applications. [2]韩燕苓，次黎曼测地线的刻划．南京理工大学硕士论文,2003. [3]Roberto.Glambo, Existence,multiplicity and regularity for Sub—Riemannian Geodesics by Variational methods. SLAM.J.Control Optim.Vol.40. （责任编辑：张晓辉） “本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”。