基于转子偏心坐标系的无轴承永磁薄片电机径向悬浮力模型

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摘要：针对无轴承永磁薄片电机（BPMSM）运行时转子悬浮不够稳定的问题，研究了影响BPMSM转子悬浮性能的主要因素，即转子径向悬浮力模型。依据位移补偿控制理论和角坐标系的概念，建立了新的转子偏心坐标系。在转子偏心坐标系下，基于麦克斯韦应力张量法，利用积分和三角变换推导了转子径向悬浮力模型，并设计悬浮力绕组电流直接控制系统。建立电机的有限元模型，通过对比径向悬浮力的有限元分析结果与数学模型计算结果，验证了所推导数学模型的正确性与准确性。

关键词：无轴承永磁薄片电机；转子偏心坐标系；麦克斯韦力；径向悬浮力；有限元分析。

DOI：10.15938/j.emc.2016.04.002。

中图分类号：TM 343 文献标志码：A 文章编号：1007—449X（2016）04—0010—07。

0 引言。

过去几十年中，无轴承驱动与无轴承电机技术被广泛研究。无轴承电机具有显著优点，使用寿命长，无需润滑，能满足洁净性、耐化学性、紧凑性等方面的高要求。

无轴承薄片电机采用薄片转子，在提高经济效益的同时降低了系统复杂度。普通无轴承电机运行时，需要保持转子五自由度稳定悬浮。而无轴承永磁薄片电机利用“磁阻最小原理”能够实现轴向与两个扭转方向上的被动悬浮。

无轴承永磁薄片电机的稳定悬浮是其技术发展的关键问题。为满足控制的精确性、稳定性、快速性，需要建立精确、简洁的悬浮力模型，利用数字控制系统进行控制。

文献对单绕组无轴承永磁薄片电机采用电机等效磁路法建立了其径向悬浮力数学模型，但由于其转矩磁场和悬浮磁场由同一套定子绕组产生，两者耦合影响严重。文献对3对极无轴承交替极薄片电机应用分段求解法建立了其径向悬浮力数学模型，但该模型中存在影响悬浮力脉动的电机参数气隙宽度l_g和永磁体厚度l_m，不利于电机的精确和稳定控制。文献基于麦克斯韦应力张量法建立数学模型，提高了模型的精确性，但模型复杂不便于进行实时控制。

本文针对转子转动过程中发生的偏心位移，建立了转子偏心坐标系，在该坐标系下利用麦克斯韦应力张量法推导了无轴承永磁薄片电机径向悬浮力模型，并设计相应控制系统。运用有限元法对无轴承永磁薄片电机样机进行悬浮力分析，分析结果与数学模型理论计算结果进行比较分析，验证所建立数学模型的正确性和精确性。

1 BPMSM悬浮原理。

由磁阻力特性可知，薄片转子的轴向平移与翻转运动均属于被动悬浮控制，当薄片转子发生翻转或平移时，磁阻力就会产生方向相反的磁拉力使薄片转子回复到平衡位置。控制原理如图1所示。

在图2（a）中，ψ_M，ψ_B分别是由转矩绕组和悬浮绕组各自产生的磁链，两者叠加后α轴正方向处磁场增强，最终合成的磁场吸力沿α轴正方向。同理可分析图2（b）。

2 BPMSM悬浮力模型。

在建立数学模型之前，先做如下假设：（1）忽略定、转子铁心磁阻，不计涡流和磁滞损耗；（2）永磁材料的电导率为零，永磁体内部的磁导率与空气相同；（3）转子上没有阻尼绕组；（4）永磁体产生的励磁磁场和三相绕组产生的电枢反应磁场在气隙中均为正弦分布；（5）稳态运行时，相绕组中感应电动势波形为正弦波。

2.1 转子偏心坐标系。

如图3所示：“α—β”坐标系为机械空间内的静止两相正交坐标系；“d—q”为旋转正交坐标系。

下面设定“i—j”坐标系为转子偏心坐标系：其原点为定子中心，与静止两相正交坐标系原点重合，i轴指向转子的偏心位移方向，j轴与i轴正交。当转子发生偏心位移时，i轴分量对应转子偏心距，而j轴分量始终为零。

2.2 悬浮力模型的建立。

考虑转子偏心时的情况，任意方向上的气隙长度可以表示为（1）式中：δ₀为转子不偏心时的等效气隙长度；ρ为转子偏心距；φ为气隙中任意处与i轴的夹角。

考虑转子偏心时的气隙磁导率为（2）。

根据电机原理，气隙磁场由转矩绕组，永磁转子和悬浮力绕组共同建立。三者产生的磁动势基波分量分别为（3）式中：F_1m、F_2m、F_fm分别为转矩绕组、悬浮绕组和永磁体的气隙磁动势基波幅值；μ₁、A、μ_f为各气隙磁动势基波对应的空间初始相位角；ω₁、ω₂为转矩绕组与悬浮力绕组角频率；p₁、p₂分别为转矩绕组和悬浮力绕组极对数；θ_i为转子偏心坐标系i轴超前两相静止坐标系α轴的角度，即转子偏心角度。

由于转矩绕组和永磁体产生磁场都是p₁对极，两者共同建立的合成气隙磁动势基波为（4）。

从而，BPMSM的气隙磁场由转矩绕组、永磁体合成的p₁对极的磁场和由悬浮力绕组产生的p₂对极的磁场共同作用产生。

根据电机学原理，绕组产生的气隙磁通密度幅值为（5）式中：N₁、N₂分别为转矩绕组和悬浮绕组每相串联匝数；I_1f、I₂分别转矩绕组、永磁体合成等效励磁电流和悬浮绕组电流幅值；k_d1、k_d2分别为转矩绕组和悬浮绕组基波绕组分布系数；p₁、p₂分别为转矩绕组和悬浮绕组极对数。

因此，在任意时刻任意机械角度上的气息磁通密度可表示为（6）。

根据麦克斯韦张量法，转子表面ds面积上沿机械角度φ受到的法向力可表示为（7）（8）式中：μ₀为空气磁导率；B（θ，t）为合成气隙磁通密度，l为电机有效铁心长度，r为转子半径。

将上式对变量φ在0～2π上进行积分可得（9）（10）式中：（11）。

分析式（9）、式（10），悬浮力可分为三部分：

（1）第一部分与偏心距p的大小无关，当ω₁、ω₂、p₁、p₂满足一定要求时，可通过调节B_2m的大小改变径向悬浮力，计为F"_i、F"_j。

（2）第二部分是关于偏心距p的线性函数，其大小随偏心距的增大而增大，属于不可控力，计为F""_i、F""_j。

（3）第三部分是关于偏心距ρ的二次函数，当ρ很小时，这一项忽略不计。

所以悬浮力模型可简化为（12）。

2.3 BPMSM实现稳定悬浮的必要条件。

分析式（9）、式（10）中的可控径向悬浮力F"_i、F"_j：（13）。

利用三角函数性质与三角变换公式，式（13）化简为（14）式中：（15）。

当ω₁≠ω₂时，F"_i、F"_j为按正弦规律变化的脉动力，不便于实现控制；当p₁≠p₂±1时，F"_i、F"_j恒为零，也无法实现径向力的有效控制。

所以，当转子发生偏心位移时，产生可控径向悬浮力必须满足必要条件：（16）。

分析式（9）、式（10）中的第二部分由偏心位移引起的径向力F""_i、F""_j，BPMSM实际运行过程中，由于ρ、B_2m的数值都较小，因此忽略其平方项和它们之间的乘积项，得：（17）式中：（18）。

当p₁=1时，F""_i、F""_j是随时间按正弦规律变化的脉动力，不便于控制时进行实时补偿，设计时应尽量避免。

2.4 径向悬浮力最终模型。

将式（16）代入式（14），得（19）。

当p₁≠1时，根据式（17），得到由偏心距产生的不可控力计算公式为（20）。

将式（6）代入式（19），得可控径向力与电流问的关系（21）。

将式（6）代入式（20），得不可控径向力与电流间关系（22）。

3 控制系统设计。

在i轴方向，转子偏心产生偏心磁拉力，可控悬浮力用于补偿偏心力。当电机转子发生径向偏移时，利用位移传感器测得转子沿x、y方向偏心位移。

则偏心距：（23）偏心方向：（24）。

其中，偏心距ρ经PID控制器调节得到可控悬浮力的指令值F^*_i。

而在j轴方向，由于偏心位移为零，因此可控悬浮力的指令值F^*_j直接设为零。

将悬浮力指令值代人可控悬浮力公式（21），计算得到悬浮绕组电流初相角与幅值指令值（25）。

三相电流矢量可通过控制幅值、初相角和频率来确定。通过式（25）确定悬浮绕组电流的初相和幅值，电流的频率与转矩绕组电流频率相同，三相静止坐标下的径向悬浮力绕组电流可以表示为（26）。

控制系统框图如图4所示。位移传感器测量得到转子在x和y方向的位移，经极坐标变换得到转子偏心距ρ和偏心方向θ_i。偏心距ρ经PID控制器调节产生径向悬浮力的指令值F^*_i，根据式（25）计算悬浮力绕组电流相位、幅值，通过式（26）得到悬浮绕组三相电流的指令值，最后经过CRPWM逆变器控制三相悬浮电流，实现转子悬浮控制。

4 有限元分析。

有限元法是分析电机运行原理与性能的有效方法，本文借助Ansoft Maxwell 15对转矩绕组极对数P₁=1、悬浮力绕组极对数P₂=2的无轴承永磁薄片电机气隙磁通密度分布和径向悬浮力进行分析，并与数学模型计算结果进行对比分析，从而验证所建立的径向悬浮力数学模型的正确性。无轴承永磁薄片电机样机参数见表1，建立该电机的有限元仿真模型并进行网格剖分，如图5所示。

为了分析电机气隙中磁通密度谐波成分含量，运用Ansoft有限元软件分别分析薄片转子永磁体单独作用时，转矩绕组中通入I₁=3 A电流时和悬浮力绕组中通入I₂=3 A电流时的气隙磁通密度分布。再利用Matlab软件对磁通密度数据进行傅里叶变换分析，得到磁通密度谐波成分含量如图6。

转子永磁体单独作用时，气隙磁通密度基波分量占96.7%；转矩绕组单独作用时，气隙磁通密度基波分量占74.0%；悬浮力绕组单独作用时，气隙磁通密度二次谐波分量占58.0%。三者都是各自气隙磁密的主要组成部分，能反映气隙磁密的总体特征。因此，模型计算时主要考虑磁动势基波分量，忽略高次谐波分量。

3.1 可控悬浮力分析。

转矩绕组、永磁体等效绕组合成电流的幅值I_1f=3 A、初始相位μ=0、转子不发生偏心的情况下，可控径向悬浮力i轴分量F"_i、j轴分量F"_j随悬浮力绕组电流的幅值，2、相位A变化而相应变化。

式（21）悬浮力模型与有限元计算结果进行比较，如图7、图8所示。悬浮绕组电流较大时，电机进入饱和状态，模型计算结果与有限元仿真结果略有偏差，在悬浮绕组电流小于3A时，悬浮力模型与有限元计算的结果基本一致。

3.2 不可控悬浮力分析。

设定通入悬浮力绕组的电流幅值I₂=0，转矩绕组、永磁体等效绕组合成电流的幅值I_1f=3 A、初始相位μ=0。将模型计算值与有限元分析结果比较，如图9。

根据式（22），偏心磁拉力F""_i与偏心距ρ成正比，而F""_j保持为零。从图可以看出，有限元数学模型的理论计算结果与有限元法分析的结果基本吻合，误差较小。由此可以得出数学模型中不可控径向悬浮力部分的正确性。

5 结论。

1）针对转子运动时发生的偏心位移，提出了转子偏心坐标系的概念。在该坐标系下，建立基于麦克斯韦应力张量法的数学模型，一方面克服了等效磁路法在电机结构复杂时对经验值和修正参数要求高的缺点，另一方面克服了分段求解法中电机本体参数对模型准确性的影响。模型在满足精确性的情况下，简化了不可控悬浮力的表达方式，为设计更高效简洁的控制器提供了依据。

2）通过有限元分析，分别对比验证了数学模型中可控悬浮力与不可控悬浮力计算结果的正确性，计算结果与有限元分析结果基本一致，验证了在转子偏心坐标系下，基于麦克斯韦应力张量法建立的BPMSM径向悬浮力数学模型的正确性。

（编辑：张楠）。