[基于上证综指的波动率模型比较研究与实证分析] 上证综指
［摘 要］ GARCH模型和SV模型适合于不同的市场，尚未有一种方法和模型的预测效果绝对优于其他方法和模型。
本文选择具有代表性的上证综指收益率数据进行建模，对比分析GARCH和SV及其各自的扩展模型的拟和效果。
实证结果反映上证指数收益率具有明显的群集聚性、波动性、尖峰厚尾的特征，同时，相比较而言，SV模型对于我国上海金融市场时间序列数据有更好的波动性拟和效果。
［关键词］ 上证综指；GARCH；SV；波动率 doi : 10 . 3969 / j . issn . 1673 — 0194 . 2012 . 10. 019 ［中图分类号］ F830.9 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1673 — 0194（2012）10— 0030— 03 资产收益的波动在许多金融实践中扮演着关键性角色，一方面，波动与金融市场的不确定性和风险密切相关，这对于风险管理、投资组合选择和监管者的政策制定都具有重要意义；另一方面，波动是资产定价的一个关键输入变量。
现有的关于波动预测的实证结果表明，不同的模型适合于不同的市场，尚未有一种模型的预测效果绝对优于其他模型。
大量的实证研究发现，无论是成熟资本市场还是新兴资本市场，其收益波动普遍展现出显著的聚集性特征和异方差现象。
另外，还有一个非常重要的描述金融市场波动性的模型：随机波动（ＳＶ）模型。
至今，ＧＡＲＣＨ族及其拓展模型应用十分广泛。
但是由于ＧＡＲＣＨ族及其拓展模型形式多，相对复杂，使得其各自的适用条件就显得尤为重要。
同时，随着ＧＡＲＣＨ的有力竞争者――ＳＶ模型的不断发展，究竟哪一类模型更有利于刻画我国金融市场时间序列的特性，有待深入研究。
1 ＧＡＲＣＨ模型和ＳＶ模型的比较分析 首先，ＧＡＲＣＨ模型、ＳＶ模型都为针对波动率问题的传统模型，其次，两类模型都是基于回报指标所建立的，亦即基于回报或绝对值回报的波动率测量，使用收盘价格的对数差分作为波动率的测量基础。
此外，两类模型的差异也很明显：ＧＡＲＣＨ模型用来描述离散的可观测的时间序列的波动情况，即波动过程可由过去的观测值和过去误差的平方项线性表示，而ＳＶ模型则是一类随机微分方程的离散化表示形式，ＳＶ模型具有两个冲击过程（εt和ηt），其中ηt蕴含着ｔ时刻的新信息。
这使得ＳＶ模型比较灵活，从而可以更好地刻画金融时间序列的特性。
也就是说，两类模型的主要区别为时变二阶矩是否可以观测。
ＳＶ类模型将随机过程引入到二阶矩的表达式中，它包括两个噪声过程，一个是对观测值的，另一个是针对潜在波动的，它假定时变方差是一种不可观测的随机过程，因此理论上来说更加适合于金融领域的实际研究。
然而，对于ＳＶ模型，其缺点也较为明显：ＧＡＲＣＨ模型的参数估计采用最大似然估计方法，但对随机波动性模型而言，似然函数的明确表达式不可能获得，所以很难对它进行估计，这使得随机波动性模型在过去很长一段时间内不像ＧＡＲＣＨ模型一样有吸引力，是阻碍其广泛应用的一个重要原因。
近几年来，随着计量经济学的发展，随机波动性模型的估计取得了较为显著的进步，现在已经提出了许多有效的估计方法。
2 ＧＡＲＣＨ模型和ＳＶ模型的实证分析 2.1 样本选择与预处理 这里采用上证综合指数的日收盘数据进行实证研究。
文章选取２００４年１１月２３日至２０１０年５月１４日近5年我国股票市场收益率数据，收益率的计算方法采用对数收益率的计算方法，公式为： rt=lnpt—lnpt—1 式中，pt表示上证指数在ｔ日的收盘价。
关于对数收益率的计算方法，其主要的性质为：对数收益的取值范围扩展到整个实数域，更适合于对证券的行为进行建模；多期对数收益率只是单期对数收益率的和，若当单期对数收益率服从正态分布，则多期收益率也服从。
首先通过ＡＤＦ检验得出日收益率时序是平稳性的，同时分布检验的检验结果见表１。
由此可以看到收益率序列表现出负偏度以及过度峰度，表明收益分布具有明显的宽尾部性质，而非正态分布的性质，由ＪＢ正态检验统计量的值可以看到收益率序列呈现左偏，尖峰的分布形态。
进而可以得出，股票市场的收益变动呈现波动的集群性，即较大幅度波动后面一般接着较大波动，而较小波动一般紧连着较小幅度波动。
进一步通过对收益率的自相关检验，我们发现收益率都与其滞后的１５阶存在显著的自相关，因此对沪市的收益率的均值方程采用如下形式： rt = c + αrt — 15 + εt 回归后得到残差平方的线性图如图１。
由以上残差平方的线形图可见ε2的波动具有明显的时间可变性和急促性，应该适用ＧＡＲＣＨ类模型。
进一步考察残差平方序列的自相关结构，对残差进行ＡＲＣＨ－ＬＭ Ｔｅｓｔ，结果见表２。
上证综指收益率序列ＡＲ模型的残差平方序列存在高阶自相关，这意味着可以用高阶的ＡＲＣＨ模型进行刻画。
2.2 ＧＡＲＣＨ族建模研究 针对上述所做各项检验，利用上证综指收益率序列进行建模，同时对ＧＡＲＣＨ模型及其扩展模型都进行了拟合，并利用公式ｋＧ＝计算拟合的峰度值。
首先，分别用ＧＡＲＣＨ－Ｎ模型、ＧＡＲＣＨ－ｔ模型和ＧＡＲＣＨ－Ｍ模型对上证指数日收益率序列的条件方差建模，在每一类模型中，找出使ＡＩＣ和ＳＣ值最小且模拟模型后的残差最接近于白噪声的模型。
根据均值方程形式和误差项分布不同分别得到如下4种模型：ＧＡＲＣＨ（１，１）－Ｎ、ＧＡＲＣＨ（１，１）－ｔ、ＧＡＲＣＨ（１，１）－Ｍ－Ｎ和ＧＡＲＣＨ（１，１）－Ｍ－ｔ，得到的参数估计结果见表３。
根据表３ 的估计结果可以得出以下结论： （１）α均为正，说明实际股票波动呈现集群性现象。
另外α＋β＜１，满足模型平稳性条件，α＋β为持续性参数且都非常接近于１，这说明沪市波动对外部冲击的反应函数以一个相对较慢的速度递减，可见上证综指收益率的持续特征非常明显。
上海股市的波动还十分剧烈，总体风险很大，外来冲击对上海股票市场的系统整体波动的影响持续性程度很高。
（２）ＧＡＲＣＨ（１，１）－Ｎ和ＧＡＲＣＨ（１，１）－ｔ模型因为假设误差项分布不同，通过ＡＩＣ和ＳＣ准则，相比较而言，可以看出ＧＡＲＣＨ（１，１）－ｔ要优于ＧＡＲＣＨ（１，１）－Ｎ，ＧＡＲＣＨ（１，１）－Ｍ－ｔ要优于ＧＡＲＣＨ（１，１）－Ｍ－Ｎ。
（３）通过模型残差峰度k*看出，残差都还存在高峰现象；从残差正态性检验统计量ＪＢ来看，误差项服从正态分布的假定是不成立的。
（４）通过残差的ＬＭ检验得出：模型残差都不再有ＡＲＣＨ效应，从这个角度看，ＧＡＲＣＨ类模型可以较好地拟合波动的集聚效应。
另外，考虑到股票市场中股价下跌过程中一般伴随着比上涨时更加剧烈的波动，对两类非对称的ＡＲＣＨ模型――ＴＡＲＣＨ和ＥＧＡＲＣＨ也进行了分析，由之前的分析结果知由ｔ分布作为假设误差项分布效果更佳，因此进行ＴＡＲＣＨ－ｔ和ＥＧＡＲＣＨ－ｔ建模，结果见表４。
ＴＡＲＣＨ－ｔ中εt—12dt—1，项的系数估计值φ为０．０１２ ０５１，由φ≠0说明信息作用是非对称的，同时φ>0，说明沪市中坏消息引起的波动比同等大小的好消息引起的波动大，沪市存在杠杆效应。
在ＥＧＡＲＣＨ中，项的系数估计值φi为－０．０７９ １９０＜０，也说明了沪市中存在着杠杆效应。
2.3 随机波动模型ＳＶ建模研究 在对模型拟合前，从收益序列中消去其均值，公式为： yt=Rt—Rt 式中，Ｔ为样本数据的个数；yt为第ｔ个交易日的消去均值后的收益。
采用马尔可夫链模拟（ＭＣＭＣ）方法，应用ＷｉｎＢＵＧＳ软件对参数进行估计。
其中峰度系数表示为：KSV=3exp（）估计结果见表５。
注：括号内为参数估计的标准差 表中显示波动持续性参数?准为０．９３８ ９，说明上证指数具有很强的波动持久性。
同时，经过ＳＶ模型拟合后，标准化收益率的ＡＲＣＨ效应不再显著。
3 结 论 通过对ＧＡＲＣＨ族模型与基本的ＳＶ模型针对上证综指收益率序列进行的实证比较分析，发现两类模型都能很好地捕捉金融时间序列数据的尖峰厚尾性、金融时间序列数据波动的聚集性、持续性和杠杆效应等特征。
同时，对于ＧＡＲＣＨ族及其扩展模型的分析发现，假设误差项为ｔ分布可以更好地拟合时间序列数据，而考虑了期望收益率和风险之间关系的ＧＡＲＣＨ－Ｍ模型相对效果也较好。
另外，通过对ＴＡＲＣＨ－ｔ，ＥＧＡＲＣＨ的系数估计，证明沪市中存在着明显的杠杆效应。
针对两类模型进行的比较分析显示：在ＳＶ模型中，利用参数估计可以计算峰度为５．４４６ １，相比较于ＧＡＲＣＨ族模型的估计结果，更接近于真实峰度５．５６２ ８０９，从而印证了理论上所说的在刻画金融序列的高峰后尾特性方面ＳＶ模型更优一些，因此ＳＶ模型是我们在实证研究中的首选模型。
当然，即使是ＳＶ模型的峰度值也与实际数据的峰度值相差较远，因此寻求基本ＳＶ模型的扩展形式是十分重要的，一般文献提到ＳＶ－ｔ和ＳＶ－ＧＥＤ模型对尖峰厚尾特性的刻画优于基本的ＳＶ模型。
另外，虽然ＳＶ模型在刻画时间序列的厚尾现象方面效果较好，但是其参数估计较为复杂，运用起来不如ＧＡＲＣＨ族方便。
因此，对于寻求更简便的ＳＶ模型参数估计方法或者将ＧＡＲＣＨ族模型与ＳＶ模型更好地结合起来，做到优劣互补，也是今后一个很好的研究方向。
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