高等代数教学中的一些想法
摘要:笔者结合自己近年来高等代数课程的教学实践, 指出了这门课程教学中几个值得注意的问题, 并做了总结归纳.
一、引言。
高等代数[1]是理工科大学生的基础课, 对数学系的学生尤其重要.它的教学质量的高低直接关系到理工科大学生的专业基础和后继课程的学习, 提高其教学质量对培养高层次人才具有重要意义[2].
高等代数包括多项式、行列式、线性方程组、矩阵、二次型、线性空间、线性变换、—矩阵、欧式空间、双线性函数与辛空间等内容, 对理工科的大学生来说课程内容量多, 教学课时紧, 理解难度较大, 学生普遍感觉学习比较吃力.笔者近年来主要在数学系从事高等代数的教学工作, 针对学生在学习这门课程中存在的上述问题, 总结归纳了几个方面, 期望对学生的学习和同行教师的教学有所帮助, 共同改进和提高高等代数的教学质量.
二、具体问题 (注:本文中的教材均指参考文献[1], 以后不再详细赘述)。
教材P72给出了阶梯形矩阵的文字定义, 但学生普遍反映该定义较抽象, 理解难度较大, 笔者建议学生可同时参看另一本书[3]给出的相关内容.在[3]中不仅给出了阶梯形矩阵具体数学表达式的定义, 还给出了什么是阶梯头, 以及一类特殊的阶梯形矩阵———约化阶梯形矩阵 (也称为行最简形) .实践证明, 学生若理解阶梯头的概念和约化阶梯形矩阵, 对其解题帮助甚多.对此类问题, 可用两种方法求解.
分析:方法1是教材上给出的传统解法, 也是大多数教师在讲解第三章内容时所用的方法;方法2是笔者将方法1解答过程中得到的阶梯形矩阵利用初等行变换进一步化为约化阶梯形矩阵, 进而求解方程组.表面上看, 两种方法复杂程度相当, 实际上方法2比方法1快捷, 因为化为约化阶梯形矩阵以后, 每个阶梯头都是1, 该列其余所有的元素均为0, 因此与原方程组等价同解的方程组 (如上述方程组 (*) ) 就非常容易求解, 其解一目了然.[4]。
2. 教材P188给出引理:。
对一个sn矩阵A作一初等行变换就相当于在A的左边乘上相应的ss初等矩阵, 对A作一初等列变换就相当于在A的右边乘上相应的nn的初等矩阵, 我们不妨简记为左乘行变, 右乘列变,。
P191给出定理6:n级矩阵A为可逆的充分必要条件是它能表成一些初等矩阵的乘积:A=Q1Q2Qm,。
利用该引理和定理6, 笔者给出教材P180定理4的另一种简单证明方法.
定理4 A是一个sn矩阵, 如果P是ss可逆矩阵, Q是nn可逆矩阵, 那么。
证明:因为P是可逆矩阵, 根据定理6, 它能表成一些初等矩阵的乘积:。
根据引理, 矩阵X1X2XmA (即PA) 相当于对矩阵A作m次的初等行变换, 由于初等变换不改变矩阵的秩, 故秩 (A) =秩 (P A) .
另一个等式可同样证明.
教材第三章第五节讲到了矩阵的分块, 但是并没有很直接地说明相关问题, 比如是否对每一个矩阵的计算都适合用分块的方法, 以及分块时如何去进行.
首先需要明确:并不是所有的矩阵都适合用分块的方法去计算.总结讲解高等代数的相关书籍, 我们会发现下面的规律:对于一般矩阵而言, 只有将其分块以后能分出诸如零矩阵、单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵等特殊的子矩阵, 我们一般才考虑用分块的方法去计算.
这样的例子有很多, 如教材P181所给的例子:。
按照教材上的分块方法, 矩阵A分成的四个子矩阵中, 包括两个2级单位矩阵和一个2级零矩阵.
当然上述规律也不尽然, 对一些特别的矩阵, 可能分块以后并没有上面提到的一些特殊子矩阵, 但是实践证明也较适用分块的方法.读者可参看教材P203第28题, 对于矩阵A,。
本题要求用两种方法求逆矩阵, 一是初等变换, 二是矩阵分块.读者通过用两种方法分别计算可知, 本题用第二种方法较为简便.
定义13一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组, 如果这个部分组本身是线性无关的, 并且从这向量组中任意添加一个向量 (如果还有的话) , 所得的部分向量组都线性相关.
齐次线性方程组的基础解系P142:。
定义17齐次线性方程组 (1) (见教材P141) 的一组解1, 2, , t称为它的基础解系, 如果 (1) (1) 的任一个解都能表成1, 2, , t的线性组合; (2) 1, 2, , t线性无关.
线性空间的一组基P249:。
定义6在n维线性空间V中, n个线性无关的向量ε1, ε2, , εn称为V的一组基.设是V中任一向量, 于是ε1, ε2, , εn, 线性相关, 因此可以被基ε1, ε2, , εn线性表出:=a1ε1+a2ε2+anεn.
三者的区别与联系:区别是很明显的, 无须多言.联系在于:齐次线性方程组的任一个解本质上都是一个解向量, 因此从定义上可看出, 齐次线性方程组的一个基础解系即是它所有解构成的解向量组的一个极大线性无关组.同样的道理可知, 线性空间的一组基也为该空间中所有向量组成向量组的一个极大线性无关组.又向量本质上为矩阵, 故对三者的各类求解问题, 虽然表面差别很大, 但实质都是考察矩阵的行 (列) 初等变换、化为阶梯形矩阵、秩、找出极大线性无关组等问题, 殊途同归.具体例子请参看教材P271第17题.
5. 对矩阵秩r的全面理解.
教材P134定理6:一矩阵的秩为r的充分必要条件为矩阵中有一个r级子式不为零, 同时所有r+1级子式全为零.
这里补充注意两个问题:。
(1) 对该矩阵A而言, 其所有的k (r—1) 级子式均不全为零.因为由行列式按一行展开的公式可知, 如果矩阵A的k (r—1) 级子式全为零, 则矩阵A的k+1级子式全为零, 从而A的所有级数大于k的子式全为零.显然rk+1, 故A的所有级数为r的子式全为零, 与定理条件有一个r级子式不为零相矛盾.
(2) 同 (1) 分析可知, 若矩阵A的k+1级子式全为零, 则A的所有级数大于k+1的子式也必然全为零, 从而可以说:此时, A的所有级数大于k的子式全为零.
综合以上两点, 可将定理6换一种定义说法, 即:一矩阵的秩为r的充分必要条件为矩阵的非零子式的最高级数为r级.
三、总结。
高等代数是理工科大学生一门非常重要的专业基础课.本文总结了高等代数教学过程中几个容易被忽视而对整个知识体系的理解又非常关键的问题, 旨在帮助学生们更好地把握整个代数知识框架的脉络, 同时也期望为从事这门课程教学的教师同行们提供积极的教学参考.
参考文献。
[1]北京大学数学系前代数小组.高等代数[M].第4版.北京:高等教育出版社, 2013.
[2]张华民, 殷红彩.高等代数教学中的几点思考[J].安庆师范学院学报:自然科学版, 2014, 20 (1) :90—93.
[3]陈维新.线性代数[M].第2版.北京:科学出版社, 2005.