海伦公式的证明(精选多篇)
海伦公式证明与海伦他著作"r"(《量论》)原始证明不我们用三角公式和公式变形证明。
设三角形三边、b、对角分别、b、则余弦定理 (^+b^^)bbb√(^ )b√[(^+b^^)^^b^]√[^b^(^+b^^)^]√[(b+^+b^^)(b^b^+^)]√[(+b)^^][^(b)^]√[(+b+)(+b)(b+)(+b+)]设(+b+)则(+b+), (+b+), b(b+),(+b),上式√[(+b+)(+b)(b+)(+b+)6]√[()(b)()]所以三角形b面积√[()(b)()]二海伦公式几种证明与推广海伦公式几种证明与推广古镇高级学付增德高数学必修⑤与思考栏目向学生介绍非常重要且优美公式——海伦公式〔r" rl〕假设有三角形边长分别,b,,三角形面积可由以下公式得?(?)(?b)(?)而公式里?(?b?)称半周长。
图海伦公式又译希伦公式传说是古代叙拉古国王希伦二世发现公式利用三角形三条边长取三角形面积。
但根据rr kl908年出版著作考证这条公式其实是阿基米德所发现以托希伦二世名发表。
由任何边多边形都可以分割成三角形所以海伦公式可以用作多边形面积公式。
比如说测量土地面积候不用测三角形高只测两距离就可以方便地导出答案。
海伦公式形式漂亮结构工整有多种变形如(?)(?b)(?)(?b?)(?b?)(??b)(b??)([(?b)?][b?(?b)]?b??b)[?(?b??b)]?(?b?)b??b??b?b和余弦定理教课并以习题形式出现给出参考答案是利用三角形面积计算公式???b?b证明程?bb?b?(?b?b)下略。
我国南宋著名数学秦九韶也发现了与海伦公式等价“三斜积”公式国古代天元术发展水平非常高笔者猜想秦九韶独立推出“三斜积”公式程利用了方程方法因海伦公式可以作如下推证从三角形基面积公式?b?入手利用勾股定理布列方程组高。
如图b图?x?????b△b边b上高根据勾股定理有?x?z?b方程得???z??z??b?x????(??b)??(??b)下略。
高方法上我们也可以用斯特瓦尔特定理根据斯氏定理△b顶对边b上任距离有下列等式确定b???b??b?b??b等式改写?b?b??bb?b?b?bb而当是顶正射影,有b?bb???b?b?利用比例性质变形得bb???bb??b?代入即出高。
推证海伦公式也可以考虑应用三角函数恒等式容易证明下列三角恒等式若∠+∠b+∠ 80°那么bb?+??+zz图3如图3,△b切圆⊙半径是r,则?rx, b?r,?rz,代入恒等式?b+?+b?得rx?rxz?rz?两边乘xz有等式r(x??z)?xz???①又b???(x?z)?(x?)?(?z)?x 所以x?z??b?b??理???b。
???②是△b面积?(?b?)r(?z?x?z?x?)r(x??z)r(x??z)r把①、②式代入即得?(x??z)xz(?b?)(?b?)(b??)(??b)三角形面积和三边有如优美和谐关系我们不禁会类比猜想(更多请关简单四边形面积和它四条边又是什么关系呢？由三角形接圆所以猜想海伦公式推广任接与圆四边形b设四条边长分别,b,,且??b??,则四边形(?)(?b)(?)(?)现根据猜想进行证明。
证明如图延长b交。
设 b ○○∵∠+∠ 80∠+∠3 80 ∴∠ ∠3∴△b～△ ∴??b?b四边形bb?b得 b(b?)?b③ b(?b)?b④由四边形b ?bb△b将③④跟b b(?b)?b代入海伦公式公式变形得∴四边形b ?bb?(?b?)b?bb(b?)((b?b)b?b)?[(b(b?)(?b)?b((?b)?b)?b(?b)(?b))]?bb(?b)?(b?)(?b)?[(b?)?(?b)?(?b)]?(?b)(b?)(?b)?[{b?}?{?b}?{?b}](?b)(b?)(?b)?(b???b?b??b)(?b)(b?)(?b)?[b(?b??)?(?b??)(?b)(?b)[(b?)?(??b?)](b????b?)(b???b??)?)?(b?)][(b?)?(?)](?b??)(?b??)(???b)(b???)(?)(?b)(?)(?)所以海伦公式推广得证。
图参考献［］ 七市高选修教材编写委员会．数学问题探究[]．北京生活··新知三店0～２６．［］ 王林全．初等几何研究教程[]．广州暨南学出版社１９９６．三海伦公式海伦公式与海伦他著作"r"(《量论》）原始证明不我们用三角公式和公式变形证明。
设三角形三边、b、对角分别、b、则余弦定理下述推导[] (^+b^^）bbb√（^ )b√[(^+b^^）^^b^]√[^b^(^+b^^）^]√[（b+^+b^^）（b^b^+^）]√[(+b)^^][^(b)^]√[(+b+)(+b)(b+)(+b+)]设(+b+)则(+b+),(+b+),b(b+),(+b),上式√[(+b+)(+b)(b+)(+b+)6]√[()(b)()]所以三角形b面积√[()(b)()]证明⑵国宋代数学秦九韶7年也提出了“三斜积术”。
它与海伦公式基样其实《九算术》已有三角形公式“底乘高半”实际丈量土地面积由土地面积并不是三角形要出它并非易事。
所以他们想到了三角形三条边。
如这样做三角形面积也就方便多了。
但是怎样根据三边长三角形面积？直到南宋国著名数学秦九韶提出了“三斜积术”。
秦九韶他把三角形三条边分别称斜、斜和斜。
“术”即方法。
三斜积术就是用斜平方加上斜平方送到斜平方取相减余数半乘而得数斜平方乘以斜平方送到上面得到那。
相减余数被除所得数作“实”作作“隅”开平方即得面积。
所谓“实”、“隅”指是方程x q,“隅”q“实”。
以△、,b,表示三角形面积、斜、斜、斜所以q{^^[(^+^b^） ]^}当△ q,△√{^^[(^+^b^） ]^}因式分得△ ^[^^(^+^b^）^][(+) ^b ^][b^ ()^ ](++b)(+b)(b+)(b+)(++b)(+b+b)(b++)(b++)[（）（b）（)]()(b)()由可得△√[()(b)()]其(+b+)这与海伦公式完全致所以这公式也被称“海伦－秦九韶公式”。
√{^^[(^+^b^） ]^} 其b根据海伦公式我们可以将其继续推广至四边形面积运算。
如下题已知四边形b圆接四边形且bb,,6四边形b面积这里用海伦公式推广圆接四边形 根下（)(b)()() （其周长半,b,,边）代入得8√ 3证明⑶△b∠、∠b、∠对应边、b、其切圆圆心r其切圆半径其半周长有b+b+r(b+b+）r∵r()(b)b()∴ r(b+b+）[()+(b)+()]bbr∴^r^br^3∴^^r^(r^3）(b）()(b)()∴√()(b)()四三角形面积——海伦公式证明海伦公式若δb三边长、b、则δb√（（＋b＋）×（－＋b＋）×（－b＋）×（＋b－））(这是海伦公式变形““－”从左则向右、b、”从x轴轴向正轴扫描周期我觉得这么记更简单还设什么l(+b)啊多举)证明设边上高 ,则有√(^－^)＋√(b^－^)√(^－^)－√(b^－^)两边平方化简得√(b^－^)b^+^^两边平方化简得√(b^(b^+^^)^(^))δb√(b^(b^+^^)^(^))仔细化简下得δb√（（＋b＋）×（－＋b＋）×（－b＋）×（＋b－））用三角函数证明证明δbbb√(()^)————（）∵(^+b^^)(b)∴代入（）式（仔细）化简得δb√（（＋b＋）×（－＋b＋）×（－b＋）×（＋b－））五公式及证明初数学几何定理。
角（或等角）余角相等。
对顶角相等。
3。
三角形外角等和它不相邻两角和。
5。
6。
等腰三角形顶角平分线、底边上高、底边上线相重合。
7。
直角三角形斜边上线等斜边半。
8。
角平分线上到这角两边距离相等。
及其逆定理。
9。
0。
组对边平行且相等、或两组对边分别相等、或对角线相平分四边形是平行四边形。
菱形性质四条边相等、对角线相垂直并且每条对角线平分组对角。
3。
正方形四角都是直角四条边相等。
两条对角线相等并且相垂直平分每条对角线平分组对角。
圆或等圆如两圆心角、两条弧、两条弦、两弦心距有对相等那么它们所对应其余各对量都相等。
5。
垂直弦直径平分这条弦并且平分弦所对弧。
平分弦（不是直径）直径垂直弦并且平分弦所对弧。
6。
7。
相似三角形面积比等相似比平方。
8．圆接四边形对角补并且任何外角等它对角。
9。
切线判定定理 半径外端并且垂直这条半径直线是圆切线。
0。
切线性质定理①圆心垂直切线直线必切。
②圆切线垂直切半径。
③切垂直切线直线必圆心。
切线长定理 从圆外引圆两条切线它们切线长相等。
连结圆外和圆心直线平分从这向圆所作两条切线所夹角。
弦切角定理 弦切角数等它所夹弧数半。
弦切角等它所夹弧所对圆周角。
3。
相交弦定理； 切割线定理； 割线定理；初数学几何般证题途径证明两线段相等两全等三角形对应边相等 三角形等角对等边3等腰三角形顶角平分线或底边高平分底边平行四边形对边或对角线被交分成两段相等5直角三角形斜边到三顶距离相等6线段垂直平分线上任到线段两段距离相等7角平分线上任到角两边距离相等8三角形边且平行三边直线分二边所成线段相等9圆（或等圆）等弧所对弦或与圆心等距两弦或等圆心角、圆周角所对弦相等0圆外引圆两条切线切线长相等或圆垂直直径弦被直径分成两段相等两前项（或两项）相等比例式两项（或两前项）相等两圆（外）公切线长相等 3等线段两条线段相等证明两角相等两全等三角形对应角相等 三角形等边对等角3等腰三角形底边上线（或高）平分顶角两条平行线位角、错角或平行四边形对角相等5角（或等角）余角（或补角）相等 6圆（或等圆）等弦（或弧）所对圆心角相等圆周角相等弦切角等它所夹弧对圆周角7圆外引圆两条切线圆心和这连线平分两条切线夹角8相似三角形对应角相等 9圆接四边形外角等对角0等角两角相等证明两直线平行垂直直线各直线平行 位角相等错角相等或旁角补两直线平行3平行四边形对边平行 三角形位线平行三边5梯形位线平行两底 6平行直线两直线平行 7条直线截三角形两边（或延长线）所得线段对应成比例则这条直线平等行三边证明两条直线相垂直等腰三角形顶角平分线或底边线垂直底边三角形边线若等这边半则这边所对角是直角3三角形若有两角余则三角是直角邻补角平分线相垂直 5条直线垂直平行线条则必垂直另条6两条直线相交成直角则两直线垂直7利用到线段两端距离相等线段垂直平分线上8利用勾股定理逆定理 9利用菱形对角线相垂直0圆平分弦（或弧）直径垂直弦 利用半圆上圆周角是直角证明线段和差倍分作两条线段和证明与三条线段相等三条线段上截取段等条线段证明余下部分等二条线段3延长短线段其二倍再证明它与较长线段相等取长线段再证其半等短线段5利用些定理（三角形位线、含30直角三角形、直角三角形斜边上线、三角形重心、相似三角形性质等）证明角和差倍分与证明线段和、差、倍、分思路相 利用角平分线定义3三角形外角等和它不相邻两角和证明线段不等三角形角对边 垂线段短3三角形两边和三边两边差三边两三角形有两边分别相等而夹角不等则夹角三边5圆或等圆弧弦弦心距 6全量它任何部分证明两角不等三角形边对角 三角形外角和它不相邻任角3两三角形有两边分别相等三边不等三边两边夹角也圆或等圆弧则圆周角、圆心角 5全量它任何部分证明比例式或等积式利用相似三角形对应线段成比例 利用外角平分线定理3平行线截线段成比例 直角三角形比例项定理即射影定理5与圆有关比例定理相交弦定理、切割线定理及其推论6利用比利式或等积式化得证明四共圆对角补四边形顶共圆 外角等对角四边形接圆3底边等顶角三角形顶共圆（顶角底边侧）斜边直角三角形顶共圆 5到顶距离相等各共圆二、空与图形图形认识线面线面①图形是由线面构成。
②面与面相交得线线与线相交得。
③动成线线动成面面动成体。
展开与折叠①棱柱任何相邻两面交线叫做棱侧棱是相邻两侧面交线棱柱所有侧棱长相等棱柱上下底面形状相侧面形状都是长方体。
②棱柱就是底面图形有条边棱柱。
3视图主视图左视图俯视图。
弧扇形①由条弧和这条弧端两条半径所组成图形叫扇形。
②圆可以分割成若干扇形。
角线①线段有两端。
②将线段向方向无限延长就形成了射线。
射线只有端。
直线没有端。
④两有且只有条直线。
比较长短①两所有连线线段短。
角量与表示①角由两条具有公共端射线组成两条射线公共端是这角顶。
②60是分分60是秒。
角比较①角也可以看成是由条射线绕着他端旋而成。
始边继续旋当他又和始边重合所成角叫做周角。
③从角顶引出条射线把这角分成两相等角这条射线叫做这角平分线。
3相交线与平行线角①如两角和是直角,那么称和两角余角；如两角和是平角那么称这两角补角。
②角或等角余角补角相等。
③对顶角相等。
三角形三角形①由不直线上三条线段首尾顺次相接所组成图形叫做三角形。
②三角形任两边和三边。
三角形任两边差三边。
③三角形三角和等80。
⑤直角三角形两锐角余。
⑥三角形角角平分线与他对边相交这角顶与交线段叫做三角形角平分线。
⑧三角形三条角平分线交三条线交。
②条件l。
勾股定理直角三角形两直角边平方和等斜边平方反亦然。
5四边形平行四边形性质①两组对边分别平行四边形叫做平行四边形。
④平行四边形对角线相平分。
平行四边形判定条件两条对角线相平分四边形组对边平行且相等四边形两组对边分别相等四边形定义。
②领心四条边相等两条对角线相垂直平分每组对角线平分组对角。
②矩形对角线相等四角都是直角。
④正方形具有平行四边形矩形菱形切性质。
⑤组邻边相等矩形是正方形。
梯形①组对边平行而另组对边不平行四边形叫梯形。
②两条腰相等梯形叫等腰梯形。
③条腰和底垂直梯形叫做直角梯形。
④等腰梯形底上两角相等对角线星等反亦然。
多边形①边形角和等（）80。
②多边心角边与另边反向延长线所组成角叫做这多边形外角每顶处取这多边形外角他们和叫做这多边形角和（都等360）平面图形密铺三角形四边形和正六边形可以密铺。
心对称图形①平面图形绕某旋80如旋前图形相重合那么这图形叫做心对称图形这叫做他对称心。
b图形与变换图形轴对称轴对称如图形沿条直线折叠直线两旁部分能够相重合那么这图形叫做轴对称图形这条直线叫做对称轴。
③等腰三角形“三线合”。
图形平移和旋平移①平面将图形沿着某方向移动定距离这样图形运动叫做平移。
②旋图形商店每都绕旋心沿相方向动了相角任对对应与旋心连线所成角都是旋角对应到旋心距离相等。
3图形相似比①b那么b反亦然。
②b那么土bb土。
③b。
那么++。
+b++。
b。
黄金分割把线段b分成两条线段与b如bb那么称线段b被黄金分割叫做线段b黄金分割与b比叫做黄金比（根5）。
相似三角形①三角对应相等三边对应成比例两三角形叫做相似三角形。
②条件。
相似多边形性质①相似三角形对应高对应角平分线对应线比都等相似比。
②相似多边形周长比等相似比面积比等相似比平方。
图形放与缩①如两图形不仅是相似图形而且每组对应所直线都那么这样两图形叫做位似图形这叫做位似心这相似比又称位似比。
证明定义与命题①对名称与术语含义加以描述作出明确规定也就是给出他们定义。
②对事情进行判断句子叫做命题（分真命题与假命题）。
③每命题是由条件和结论两部分组成。
④要说明命题是假命题通常举出离子使具备命题条件而不具有命题结论这种例子叫做反例。
公理①公认真命题叫做公理。
②其他真命题正确性都通推理方法证实证明真命题称定理。
③位角相等两直线平行反亦然；反亦然；旁角补两直线；平行反亦然；错角相等两直线平行反亦然；三角形三角和等80；三角形外交等和他不相邻两角和；三角心外角任何和他不相邻角。
④由公理或定理直接推出定理叫做这公理或定理推论。